Sendo x=\sqrt[3]{3 \sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3 \sqrt{21}-8}, x \in \mathbb{R}, sobre o valor de 2011 x^{2011}+2010 x^{2010}+2009 x^{2009}+\ldots+2 x^{2}+x podemos afirmar que:
(a) é um múltiplo de 3 .
(b) é um múltiplo de 5 .
(c) é um múltiplo de 7 .
(d) é um múltiplo de 11 .
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.

Passo 1

O enunciado dá x=\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}, com x\in\mathbb{R}, e pede sobre o valor da expressão
2011\,x^{2011}+2010\,x^{2010}+\cdots+2\,x^{2}+x.
As alternativas são:
(a) é múltiplo de 3.
(b) é múltiplo de 5.
(c) é múltiplo de 7.
(d) é múltiplo de 11.
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.
Lista das informações dadas que usaremos:
  • A expressão para x em termos de duas raízes cúbicas.
  • A soma polinomial com coeficientes iguais aos expoentes, de x^{1} até x^{2011}.

Passo 2

Vamos simplificar x usando uma ideia direta: escreva
a=\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8},\qquad b=\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8},
então x=a-b.
Primeiro calculemos a^{3} e b^{3}:
a^{3}=3\sqrt{21}+8,\qquad b^{3}=3\sqrt{21}-8.
Logo
a^{3}-b^{3}=(3\sqrt{21}+8)-(3\sqrt{21}-8)=16.
Agora precisamos de ab. Usamos que
ab=\sqrt[3]{(3\sqrt{21}+8)(3\sqrt{21}-8)}=\sqrt[3]{(3\sqrt{21})^{2}-8^{2}}.
Calcule o interior:
(3\sqrt{21})^{2}=9\cdot21=189,\qquad 189-64=125.
Portanto
ab=\sqrt[3]{125}=5.
Usamos a identidade algébrica (que vale para quaisquer u,v):
(u-v)^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v).
Aplicando com u=a, v=b e lembrando x=a-b, obtemos
x^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab\,(a-b)=16-3\cdot5\,x=16-15x.
Rearranjando,
x^{3}+15x-16=0.

Passo 3

Queremos o valor real de x. Pelo enunciado x\in\mathbb{R}. Usamos que possíveis raízes racionais de um polinômio com termo independente \pm16 são divisores de 16: \pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16. Testamos \,x=1:
1^{3}+15\cdot1-16=1+15-16=0,
portanto x=1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio x^{3}+15x-16 por x-1 (ou uso de divisão sintética), obtemos o quociente
x^{2}+x+16,
cuja discriminante é
\Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot16=1-64=-63<0,
logo as outras duas raízes são complexas. Como o enunciado afirma x\in\mathbb{R}, o x dado é a raiz real encontrada:
x=1.

Passo 4

Com x=1, a expressão fica
S=2011\cdot1^{2011}+2010\cdot1^{2010}+\cdots+2\cdot1^{2}+1= \sum_{k=1}^{2011} k.
Usamos a fórmula da soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
Aqui n=2011, então
S=\frac{2011\cdot2012}{2}=2011\cdot1006.
Multiplicando:
2011\cdot1006=2011\cdot(1000+6)=2\,011\,000+12\,066=2\,023\,066.
Portanto S=2\,023\,066.

Passo 5

Agora verificamos as divisibilidades pedidas:
(a) Múltiplo de 3 ? Soma dos algarismos de 2\,023\,066 é 2+0+2+3+0+6+6=19, que não é múltiplo de 3. Logo S não é múltiplo de 3. Alternativamente, 2011\equiv1\pmod{3} e 1006\equiv1\pmod{3}, produto \equiv1\pmod{3}. Portanto (a) é falsa.
(b) Múltiplo de 5 ? Um número é múltiplo de 5 só se terminar em 0 ou 5. S termina em 6, então não é múltiplo de 5. (b) é falsa.
(c) Múltiplo de 7 ? Calculamos módulo 7:
2011\equiv2\pmod{7}\quad(\text{pois }7\cdot287=2009),
1006\equiv5\pmod{7}\quad(\text{pois }7\cdot143=1001).
Logo S=2011\cdot1006\equiv2\cdot5=10\equiv3\pmod{7}, não é 0. Assim (c) é falsa.
(d) Múltiplo de 11 ? Calculamos módulo 11:
2011\equiv9\pmod{11}\quad(\text{pois }11\cdot182=2002),
1006\equiv5\pmod{11}\quad(\text{pois }11\cdot91=1001).
Então S\equiv9\cdot5=45\equiv1\pmod{11}, não é 0. Assim (d) é falsa.
Como (a), (b), (c) e (d) são todas falsas, a alternativa correta é a (e).

Resposta

(e)

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