Sendo
, sobre o valor de
podemos afirmar que:
(a) é um múltiplo de 3 .
(b) é um múltiplo de 5 .
(c) é um múltiplo de 7 .
(d) é um múltiplo de 11 .
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.
(a) é um múltiplo de 3 .
(b) é um múltiplo de 5 .
(c) é um múltiplo de 7 .
(d) é um múltiplo de 11 .
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.
Passo 1
O enunciado dá
, com
, e pede sobre o valor da expressão
As alternativas são:
(a) é múltiplo de .
(b) é múltiplo de .
(c) é múltiplo de .
(d) é múltiplo de .
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.
(a) é múltiplo de
(b) é múltiplo de
(c) é múltiplo de
(d) é múltiplo de
(e) todas as afirmativas anteriores são falsas.
Lista das informações dadas que usaremos:
- A expressão para
em termos de duas raízes cúbicas. - A soma polinomial com coeficientes iguais aos expoentes, de
até .
Passo 2
Vamos simplificar
usando uma ideia direta: escreva
então
.
Primeiro calculemos
e
:
Logo
Agora precisamos de
. Usamos que
Calcule o interior:
Portanto
Usamos a identidade algébrica (que vale para quaisquer
):
Aplicando com
,
e lembrando
, obtemos
Rearranjando,
Passo 3
Queremos o valor real de
. Pelo enunciado
. Usamos que possíveis raízes racionais de um polinômio com termo independente
são divisores de
:
. Testamos
:
portanto
é raiz. Fazendo a divisão do polinômio
por
(ou uso de divisão sintética), obtemos o quociente
cuja discriminante é
logo as outras duas raízes são complexas. Como o enunciado afirma
, o
dado é a raiz real encontrada:
Passo 4
Com
, a expressão fica
Usamos a fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
Aqui
, então
Multiplicando:
Portanto
.
Passo 5
Agora verificamos as divisibilidades pedidas:
(a) Múltiplo de
? Soma dos algarismos de
é
, que não é múltiplo de
. Logo
não é múltiplo de
. Alternativamente,
e
, produto
. Portanto (a) é falsa.
(b) Múltiplo de
? Um número é múltiplo de
só se terminar em
ou
.
termina em
, então não é múltiplo de
. (b) é falsa.
(c) Múltiplo de
? Calculamos módulo
:
Logo
, não é
. Assim (c) é falsa.
(d) Múltiplo de
? Calculamos módulo
:
Então
, não é
. Assim (d) é falsa.
Como (a), (b), (c) e (d) são todas falsas, a alternativa correta é a (e).
Resposta
(e)