Se n in N e x1, x2, x3, ldots, xn e y1, y2, y3, ldots, yn são números reais, demonstre a desigualdade de CauchySchwarz:
(x1 y1+x2 y2+cdots+xn yn)^2 <=(x1^2+x2^2+cdots+xn^2)(y1^2+y2^2+cdots+yn^2)

Passo 1

Neste exercício temos ninN e sequências x1,dots,xn e y1,dots,yn. Queremos demonstrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz: (x1y1+cdots+xnyn)^2<=(x1^2+cdots+xn^2)(y1^2+cdots+yn^2). O conteúdo envolve analisar um polinômio de segundo grau que representa soma de quadrados.

Passo 2

A ideia é usar que soma de quadrados é sempre não-negativa. Definimos o polinômio
f(t)=sumi=1^n(xi t - yi)^2
Como cada termo é quadrado, temos f(t)>=0 para todo tinR. Expandindo, obtemos
f(t)=sumi=1^nl(xi^2 t^2 - 2xi yi t + yi^2r) =l(sumi=1^n xi^2r)t^2 - 2l(sumi=1^n xi yir)t + sumi=1^n yi^2

Passo 3

Como f(t) é um polinômio de segundo grau não-negativo em todo R, seu discriminante deve satisfazer De. Calculando:
De
Da condição De segue
4l(sumi=1^n xi yir)^2 <= 4l(sumi=1^n xi^2r)l(sumi=1^n yi^2r)

Passo 4

Bastando dividir ambos os lados por 4, chegamos à desigualdade de Cauchy–Schwarz desejada:
l(sumi=1^n xi yir)^2 <= l(sumi=1^n xi^2r)l(sumi=1^n yi^2r)

Resposta

(x1y1+cdots+xnyn)^2 <= (x1^2+cdots+xn^2)(y1^2+cdots+yn^2)

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