Se
e
e
são números reais, demonstre a desigualdade de CauchySchwarz:
Passo 1
Neste exercício temos
e sequências
e
. Queremos demonstrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
. O conteúdo envolve analisar um polinômio de segundo grau que representa soma de quadrados.
Passo 2
A ideia é usar que soma de quadrados é sempre não-negativa. Definimos o polinômio
Como cada termo é quadrado, temos
para todo
. Expandindo, obtemos
Passo 3
Como
é um polinômio de segundo grau não-negativo em todo
, seu discriminante deve satisfazer
. Calculando:
Da condição
segue
Passo 4
Bastando dividir ambos os lados por 4, chegamos à desigualdade de Cauchy–Schwarz desejada: