Seja G um grupo finito com um elemento x de ordem 5 e um elemento y de ordem 7 . Mostre que |G| >= 35 ?

Passo 1

O enunciado considera um grupo finito G que contém um elemento x de ordem 5 e um elemento y de ordem 7. O que vamos usar é o Teorema de Lagrange, que afirma que, em um grupo finito, a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo.

Passo 2

O subgrupo gerado por x, denotado lang<= xrang<=, tem ordem 5. Pelo Teorema de Lagrange,
;5mid |G|
Analogamente, o subgrupo lang<= yrang<= tem ordem 7, então
;7mid |G|

Passo 3

Como gcd(5,7)=1, o menor múltiplo comum de 5 e 7 é
lcm(5,7)=5cdot7=35
Portanto, 35 também divide |G|, ou seja,
;35mid |G|
Isso implica que
;|G|>=35

Resposta

|G|>=35

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