Sejam
e
abertos de
uma função de classe
e
uma função tal que
é de classe
para todo
e
.
i) Usando a regra da cadeia, ache uma fórmula para
.
ii) Seja
uma transformação linear ortogonal, ou seja,
, em que
, e
. Mostre que
, em que
iii) Seja
a forma quadrática associada a matriz
ou seja,
. Mostre que se
e
, então a forma quadrática é indefinida, ou seja, existe
e
tal que
e
.
iv) Seja
uma função de classe
, para
, tal que
, para todo
. Mostre que se
é um ponto crítico de
e
, então
não é máximo nem mínimo de
.
i) Usando a regra da cadeia, ache uma fórmula para
ii) Seja
iv) Seja
Passo 1
O enunciado apresenta quatro itens relacionados a funções
em : (i) cálculo das segundas derivadas de
pela regra da cadeia; (ii) invariância da laplaciana
por transformações lineares ortogonais; (iii) indefinição de uma forma quadrática em com traço zero e matriz não nula; (iv) conclusão de que um ponto crítico não degenerado de uma função harmônica em é necessariamente ponto de sela. Para resolver, utilizaremos: regra da cadeia, propriedades de matrizes ortogonais, teorema espectral para matrizes simétricas
e o teste de segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
(i) Para
com
, a regra da cadeia nos dá
Diferenciando em
e aplicando produto e cadeia,
Passo 3
(ii) Para
com
ortogonal (
), note que
. Assim
Somando
,
Passo 4
(iii) A matriz é simétrica, traço
e
. Pelo teorema espectral, existem autovalores
reais tais que
e
, logo um é positivo e outro é negativo. Se
são autovetores ortonormais, então
mostrando que
é indefinida.
Passo 5
(iv) Em
temos
e
, logo o traço do Hessiano é zero. Como
, seu determinante é não nulo; pela parte (iii) o Hessiano define forma quadrática indefinida. Pelo teste de segunda derivada, ponto com Hessiano indefinido é sela, não máximo nem mínimo.
Resposta
i)
ii)
para toda transformação ortogonal
.
iii) Se
e
, então
é indefinida (há autovalores de sinais opostos).
iv) Ponto crítico não degenerado de função harmônica em é necessariamente ponto de sela (nenhum máximo nem mínimo).