Sejam Omega e tildeOmega abertos de R^n, f: Omega R uma função de classe C^2 e g=(g1, ldots, gn): tildeOmega R^n uma função tal que gj: tildeOmega R é de classe C^2 para todo j in1, ldots, n e g(tildeOmega) subset Omega.
i) Usando a regra da cadeia, ache uma fórmula para partial^2(f circ g)partial xi partial xj: tildeOmega R.
ii) Seja T: R^n R^n uma transformação linear ortogonal, ou seja, T T^*=I, em que Ti j^*:=Tj i, e tildeOmega:=T^-1(Omega). Mostre que De<a(f circ T)=(De<a(f)) circ T, em que
De<a=partial^2partial x1^2+ldots+partial^2partial xn^2
iii) Seja q: R^2 R a forma quadrática associada a matriz
A=(ll a & c c & b )
ou seja, q(v1, v2)=a v1^2+2 c v1 v2+b v2^2. Mostre que se A neq 0 e a+b=0, então a forma quadrática é indefinida, ou seja, existe v in R^2 e tildev in R^2 tal que q(v)>0 e q(tildev)<0.
iv) Seja f: Omega R uma função de classe C^2, para Omega subset R^2, tal que De<a f(x, y)=0, para todo (x, y) in Omega. Mostre que se (x0, y0) in R^2 é um ponto crítico de f e d^2 f(x0, y0) neq 0, então (x0, y0) não é máximo nem mínimo de f.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro itens relacionados a funções em : (i) cálculo das segundas derivadas de pela regra da cadeia; (ii) invariância da laplaciana por transformações lineares ortogonais; (iii) indefinição de uma forma quadrática em com traço zero e matriz não nula; (iv) conclusão de que um ponto crítico não degenerado de uma função harmônica em é necessariamente ponto de sela. Para resolver, utilizaremos: regra da cadeia, propriedades de matrizes ortogonais, teorema espectral para matrizes simétricas e o teste de segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

(i) Para F=fcirc g com g=(g1,dots,gn), a regra da cadeia nos dá
partial Fpartial xi =sumk=1^n partial fpartial ykl(g(x)r), partial gkpartial xi(x)
Diferenciando em xj e aplicando produto e cadeia,
partial^2 Fpartial xipartial xj(x) =sumk,ell=1^n partial^2 fpartial ykpartial yelll(g(x)r), partial gkpartial xi(x), partial gellpartial xj(x) +sumk=1^n partial fpartial ykl(g(x)r), partial^2 gkpartial xipartial xj(x)

Passo 3

(ii) Para F=fcirc T com T ortogonal ( T,T^*=I), note que partial^2T=0. Assim
partial^2 Fpartial xi^2(x) =sumk,ell=1^n partial^2 fpartial ykpartial yelll(Txr), Tk i,Tell i
Somando i=1,dots,n,
De<a(F)(x) =sumk,ellpartial^2 fpartial ykpartial yell(Tx) sumiTk iTell i =sumk,ellpartial^2 fpartial ykpartial yell(Tx),(T T^*)kell =sumkpartial^2 fpartial yk^2(Tx) =l(De<a fr)(Tx)

Passo 4

(iii) A matriz é simétrica, traço e . Pelo teorema espectral, existem autovalores reais tais que e , logo um é positivo e outro é negativo. Se são autovetores ortonormais, então
mostrando que é indefinida.

Passo 5

(iv) Em (x0,y0) temos nabla f=0 e De<a f=fxx+fyy=0, logo o traço do Hessiano é zero. Como d^2f(x0,y0)neq0, seu determinante é não nulo; pela parte (iii) o Hessiano define forma quadrática indefinida. Pelo teste de segunda derivada, ponto com Hessiano indefinido é sela, não máximo nem mínimo.

Resposta

i)
ii) para toda transformação ortogonal .
iii) Se e , então é indefinida (há autovalores de sinais opostos).
iv) Ponto crítico não degenerado de função harmônica em é necessariamente ponto de sela (nenhum máximo nem mínimo).

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