Sejam |rrr1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4| e X=|lx y z|.
a) Encontre a solução do sistema A X=- 4 X.
b) Encontre a solução do sistema A X=2 X.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
e o vetor incógnita
Precisamos resolver os sistemas homogêneos
ou seja, encontrar os autovetores de para os autovalores e . Para isso vamos montar e e resolver por eliminação.

Passo 2

Para lambda=-4 formamos
A + 4I = 1+4 & 0 & 5 1 & 1+4 & 1 0 & 1 & -4+4 = 5 & 0 & 5 1 & 5 & 1 0 & 1 & 0
O sistema (A+4I)X=0 corresponde às equações
5x + 5z = 0, x + 5y + z = 0, y = 0
Da terceira equação vem y=0. Da primeira x+z=0, ou seja x=-z. A segunda fica redundante. Assim
x=-t, y=0, z=t, tinR

Passo 3

Para lambda=2 calculamos
A - 2I = 1-2 & 0 & 5 1 & 1-2 & 1 0 & 1 & -4-2 = -1 & 0 & 5 1 & -1& 1 0 & 1 & -6
O sistema (A-2I)X=0 é
-,x + 5z = 0, x - y + z = 0, y - 6z = 0
Da terceira equação y=6z. Da primeira x=5z. A segunda se verifica automaticamente ( 5z-6z+z=0). Logo
x=5t, y=6t, z=t, tinR

Resposta

a) X = t,(-1,,0,,1), tinR.
b) X = t,(5,,6,,1), tinR.

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