(Engenharia Elétrica - Correntes em Circuito com Fontes de Tensão)
Em um circuito com três fontes de tensão, as correntes em três ramos obedecem:
rll 5 i1-2 i2+i3 & = & 8 2 i1+4 i2-3 i3 & = & -2 i1+3 i2+2 i3 & = & 5
Calcule as correntes nos ramos.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é resolução de sistema (3\times3] usando o Teorema de Cramer, que diz que, se o determinante da matriz de coeficientes for não nulo, cada incógnita é a razão de um determinante auxiliar pelo determinante principal.

Passo 2

Calculamos primeiro o determinante principal D da matriz de coeficientes:
D = 5 & -2 & 1 2 & 4 & -3 1 & 3 & 2 =5l(4cdot2-(-3)cdot3r) -(-2)l(2cdot2-(-3)cdot1r) +1l(2cdot3-4cdot1r)
Agora fazemos as contas:
5(8+9);+;2(4+3);+;(6-4) =5cdot17+2cdot7+2 =85+14+2 =101

Passo 3

Substituímos a coluna de i1 pelos termos independentes para obter D1:
D1 = 8 & -2 & 1 -2 & 4 & -3 5 & 3 & 2 =8l(4cdot2-(-3)cdot3r) -(-2)l((-2)cdot2-(-3)cdot5r) +1l((-2)cdot3-4cdot5r)
Calculando:
8(8+9);-;(-2)(-4+15);+;(-6-20) =8cdot17-2cdot11-26 =136-22-26 =88
(Ou, revendo sinais com cuidado, dá 136+22-26=132.)

Passo 4

Substituímos a coluna de i2 pelos termos independentes para D2:
D2 = 5 & 8 & 1 2 & -2 & -3 1 & 5 & 2 =5l((-2)cdot2-(-3)cdot5r) -8l(2cdot2-(-3)cdot1r) +1l(2cdot5-(-2)cdot1r)
Fazendo as contas:
5(-4+15)-8(4+3)+(10+2) =5cdot11-8cdot7+12 =55-56+12 =11

Passo 5

Substituímos a coluna de i3 pelos termos independentes para D3:
D3 = 5 & -2 & 8 2 & 4 & -2 1 & 3 & 5 =5l(4cdot5-(-2)cdot3r) -(-2)l(2cdot5-(-2)cdot1r) +8l(2cdot3-4cdot1r)
E:
5(20+6)+2(10+2)+8(6-4) =5cdot26+2cdot12+8cdot2 =130+24+16 =170

Passo 6

Pelo Teorema de Cramer,
i1=D1D, i2=D2D, i3=D3D
Logo
i1=132101, i2=11101, i3=170101

Resposta

i1=tfrac132101,A,
i2=tfrac11101,A,
i3=tfrac170101,A.

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