Sejam \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=3 \hat{i}+2 \hat{j} e \vec{B}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}
a) Calcule o produto escalar de \vec{A} \cdot \vec{B}.
b) Determine o ângulo entre os vetores.
c) Interprete fisicamente o sinal do produto escalar?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=3\hat{i}+2\hat{j} e \vec{B}=-2\hat{i}+4\hat{j} e pede três coisas:
  1. Calcular o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}.
  2. Determinar o ângulo entre os vetores (ou seja, \theta tal que \theta é o ângulo de \vec{A} a \vec{B}).
  3. Interpretar fisicamente o sinal do produto escalar (o que significa ser positivo, negativo ou zero; e aplicar ao caso concreto).
As informações relevantes são as componentes de cada vetor: \vec{A}=(3,2) e \vec{B}=(-2,4). A resolução começa a partir dessas componentes.

Passo 2

Fórmula do produto escalar em coordenadas cartesianas: se \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Aqui cada símbolo significa:
  • u_x é a componente x do vetor \vec{u},
  • u_y é a componente y do vetor \vec{u},
  • v_x e v_y são as componentes de \vec{v},
    e o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Aplicando a fórmula a \vec{A}=(3,2) e \vec{B}=(-2,4):
\vec{A}\cdot\vec{B}=3\cdot(-2)+2\cdot4.
Calcule passo a passo:
3\cdot(-2)=-6,\qquad 2\cdot4=8,
logo
\vec{A}\cdot\vec{B}=-6+8=2.

Passo 3

Para achar o ângulo precisamos das normas (módulos) dos vetores. Fórmula da norma em 2D: para \vec{u}=(u_x,u_y),
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.
Aqui:
\|\vec{A}\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
\|\vec{B}\|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Expliquei: cada norma é a distância da origem ao ponto que representa o vetor; calculamos somando os quadrados das componentes e tirando raiz quadrada.

Passo 4

Relação entre produto escalar e ângulo: para vetores \vec{u} e \vec{v},
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Nesta fórmula:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar já calculado,
  • \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são as normas,
  • \cos\theta é o cosseno do ângulo procurado.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|}.
Substituindo os valores que encontramos:
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{260}}.
Simplificando \sqrt{260}=\sqrt{4\cdot65}=2\sqrt{65}, então
\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{65}}=\frac{1}{\sqrt{65}}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right).
Se quisermos um valor numérico aproximado, calculamos:
\frac{1}{\sqrt{65}}\approx 0{,}1240357,
logo
\theta\approx \operatorname{arccos}(0{,}1240357)\approx 1{,}446\\ \text{rad}\approx 82{,}86^\circ.
(Expliquei a conversão: radianos \times\frac{180}{\pi} dá graus.)

Passo 5

Interpretação física do sinal do produto escalar (explicação didática e exemplos):
  • O produto escalar mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro. Mais precisamente, \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta, então o sinal vem do \cos\theta.
  • Se \vec{u}\cdot\vec{v}>0 então \cos\theta>0, logo \theta\in(0^\circ,90^\circ): o ângulo é agudo — os vetores têm componente na mesma direção.
  • Se \vec{u}\cdot\vec{v}<0 então \cos\theta<0, logo \theta\in(90^\circ,180^\circ): o ângulo é obtuso — um vetor tem componente na direção oposta ao outro.
  • Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 então \cos\theta=0, logo \theta=90^\circ: vetores ortogonais, não há projeção.
Exemplo físico simples (muito usado): trabalho realizado por uma força \vec{F} ao deslocar um objeto por \vec{d} é
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=\|\vec{F}\|\,\|\vec{d}\|\cos\theta.
  • Se W>0 (produto escalar positivo), a força tem componente na direção do deslocamento e realiza trabalho positivo (ajuda o movimento).
  • Se W<0, a força opõe-se ao deslocamento e retira energia do sistema.
  • Se W=0, a força é perpendicular ao deslocamento e não faz trabalho (ex.: força centrípeta em movimento circular).
Aplicando ao nosso caso: \vec{A}\cdot\vec{B}=2>0, portanto o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é agudo. O produto escalar é pequeno e positivo, o que indica que a projeção de um vetor sobre o outro existe e é pequena — os vetores estão quase perpendiculares, mas um pouco no mesmo sentido.

Resposta

(a) \vec{A}\cdot\vec{B}=2
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right)\approx 82{,}86^\circ
(c) O produto escalar é positivo, o que significa que o ângulo entre os vetores é agudo (eles têm componentes no mesmo sentido). Em termos físicos, uma quantidade como trabalho W=\vec{F}\cdot\vec{d} seria positiva — a força tem componente na direção do deslocamento e realiza trabalho positivo.

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