Sejam
e
a) Calcule o produto escalar de
.
b) Determine o ângulo entre os vetores.
c) Interprete fisicamente o sinal do produto escalar?
a) Calcule o produto escalar de
b) Determine o ângulo entre os vetores.
c) Interprete fisicamente o sinal do produto escalar?
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três coisas:
- Calcular o produto escalar
. - Determinar o ângulo entre os vetores (ou seja,
tal que é o ângulo de a ). - Interpretar fisicamente o sinal do produto escalar (o que significa ser positivo, negativo ou zero; e aplicar ao caso concreto).
As informações relevantes são as componentes de cada vetor:
e
. A resolução começa a partir dessas componentes.
Passo 2
Fórmula do produto escalar em coordenadas cartesianas: se
e
, então
Aqui cada símbolo significa:
-
é a componente do vetor , -
é a componente do vetor , -
e são as componentes de ,
e o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Aplicando a fórmula a
e
:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 3
Para achar o ângulo precisamos das normas (módulos) dos vetores. Fórmula da norma em 2D: para
,
Aqui:
Expliquei: cada norma é a distância da origem ao ponto que representa o vetor; calculamos somando os quadrados das componentes e tirando raiz quadrada.
Passo 4
Relação entre produto escalar e ângulo: para vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Nesta fórmula:
-
é o produto escalar já calculado, -
e são as normas, -
é o cosseno do ângulo procurado.
Isolando
:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando
, então
Portanto
Se quisermos um valor numérico aproximado, calculamos:
logo
(Expliquei a conversão: radianos
dá graus.)
Passo 5
Interpretação física do sinal do produto escalar (explicação didática e exemplos):
- O produto escalar mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro. Mais precisamente,
, então o sinal vem do . - Se
então , logo : o ângulo é agudo — os vetores têm componente na mesma direção. - Se
então , logo : o ângulo é obtuso — um vetor tem componente na direção oposta ao outro. - Se
então , logo : vetores ortogonais, não há projeção.
Exemplo físico simples (muito usado): trabalho realizado por uma força
ao deslocar um objeto por
é
- Se
(produto escalar positivo), a força tem componente na direção do deslocamento e realiza trabalho positivo (ajuda o movimento). - Se
, a força opõe-se ao deslocamento e retira energia do sistema. - Se
, a força é perpendicular ao deslocamento e não faz trabalho (ex.: força centrípeta em movimento circular).
Aplicando ao nosso caso:
, portanto o ângulo entre
e
é agudo. O produto escalar é pequeno e positivo, o que indica que a projeção de um vetor sobre o outro existe e é pequena — os vetores estão quase perpendiculares, mas um pouco no mesmo sentido.
Resposta
(a)
(b)
(c) O produto escalar é positivo, o que significa que o ângulo entre os vetores é agudo (eles têm componentes no mesmo sentido). Em termos físicos, uma quantidade como trabalho
seria positiva — a força tem componente na direção do deslocamento e realiza trabalho positivo.