Seja V=P_{4}(\mathbb{R}). Determine uma base de V contendo os polinômios p_{1}(x)=1+ 2 x-x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}, p_{2}(x)=2+4 x+x^{2}+6 x^{3}+3 x^{4}, p_{3}(x)=1+2 x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}.

Passo 1

O espaço V=P_{4}(\mathbb{R}) tem dimensão 5 e base canônica \{1,x,x^2,x^3,x^4\}. O enunciado pede para construir uma base de V que contenha os três polinômios
p_{1}(x)=1+2x - x^2 +3x^3 +2x^4,\quad p_{2}(x)=2+4x +x^2 +6x^3 +3x^4,\quad p_{3}(x)=1+2x +2x^2 +3x^3 +2x^4.
Vamos primeiro verificar que \{p_1,p_2,p_3\} é linearmente independente e depois estendê-la a um conjunto de 5 vetores.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de p_1,p_2,p_3 na base \{1,x,x^2,x^3,x^4\}:
v_1=[1,2,-1,3,2],\quad v_2=[2,4,1,6,3],\quad v_3=[1,2,2,3,2].
Formamos a matriz 3\times5 cujas linhas são v_1,v_2,v_3 e fazemos eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 2\\\\ 2 & 4 & 1 & 6 & 3\\\\ 1 & 2 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2-2R_1,\;R_3-R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3-R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Há 3 pivôs (colunas 1, 3 e 5), logo \operatorname{rank}=3 e \{p_1,p_2,p_3\} é LI.

Passo 3

Para completar uma base de dimensão 5, precisamos de mais 2 vetores. Os índices de colunas sem pivô são 2 e 4, correspondendo aos monômios x e x^3. Isso garante que \{x,x^3\} está fora do espaço gerado por \{p_1,p_2,p_3\}.

Passo 4

Concluímos que o conjunto
\{\,p_{1},\,p_{2},\,p_{3},\,x,\,x^3\}
é formado por 5 vetores em V e tem posto 5, portanto é uma base de V que contém p_1,p_2,p_3.

Resposta

\{\,p_{1},\,p_{2},\,p_{3},\,x,\,x^3\}.

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