Seja V=P_{4}(\mathbb{R}). Determine uma base de V contendo os polinômios p_{1}(x)=1+2 x-x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}, p_{2}(x)=2+4 x+x^{2}+6 x^{3}+3 x^{4}, p_{3}(x)=1+2 x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}.
Passo 1
O espaço V=P_{4}(\mathbb{R}) tem dimensão 5 e base canônica \{1,x,x^2,x^3,x^4\}. O enunciado pede para construir uma base de V que contenha os três polinômios
Há 3 pivôs (colunas 1, 3 e 5), logo \operatorname{rank}=3 e \{p_1,p_2,p_3\} é LI.
Passo 3
Para completar uma base de dimensão 5, precisamos de mais 2 vetores. Os índices de colunas sem pivô são 2 e 4, correspondendo aos monômios x e x^3. Isso garante que \{x,x^3\} está fora do espaço gerado por \{p_1,p_2,p_3\}.
Passo 4
Concluímos que o conjunto
\{\,p_{1},\,p_{2},\,p_{3},\,x,\,x^3\}
é formado por 5 vetores em V e tem posto 5, portanto é uma base de V que contém p_1,p_2,p_3.