Verifique se o espaço gerado pelos vetores (1,3,5),(1,4,3),(1,1,9) é igual ao espaço gerado pelos vetores (1,2,3),(-2,-3,-4),(7,12,17).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os dois subespaços de \mathbb{R}^3
U = \span\{(1,3,5),\,(1,4,3),\,(1,1,9)\} \quad\text{e}\quad V = \span\{(1,2,3),\,(-2,-3,-4),\,(7,12,17)\}
são iguais. O conteúdo principal é teoria de subespaços gerados (spans) e critério para igualdade de subespaços: comparar dimensões e testar inclusão de um gerador no outro espaço.
Passo 2
Vamos encontrar a dimensão de U estudando a independência linear de \{v_1,v_2,v_3\} com
v_1=(1,3,5),\quad v_2=(1,4,3),\quad v_3=(1,1,9).
Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculamos o determinante: