Verifique se o espaço gerado pelos vetores (1,3,5),(1,4,3),(1,1,9) é igual ao espaço gerado pelos vetores (1,2,3),(-2,-3,-4),(7,12,17).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os dois subespaços de \mathbb{R}^3
U = \span\{(1,3,5),\,(1,4,3),\,(1,1,9)\} \quad\text{e}\quad V = \span\{(1,2,3),\,(-2,-3,-4),\,(7,12,17)\}
são iguais. O conteúdo principal é teoria de subespaços gerados (spans) e critério para igualdade de subespaços: comparar dimensões e testar inclusão de um gerador no outro espaço.

Passo 2

Vamos encontrar a dimensão de U estudando a independência linear de \{v_1,v_2,v_3\} com
v_1=(1,3,5),\quad v_2=(1,4,3),\quad v_3=(1,1,9).
Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculamos o determinante:
\det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 1 & 4 & 3\\\\ 1 & 1 & 9 \end{pmatrix} =0.
Isso mostra que \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente. Como v_1 e v_2 não são múltiplos um do outro, \dim U=2.

Passo 3

Para caracterizar o plano U, encontramos um vetor normal \mathbf{n} a v_1 e v_2 usando o produto vetorial:
\mathbf{n}=v_1\times v_2 =\det \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&3&5\\\\ 1&4&3 \end{vmatrix} =(-11,\,2,\,1).
Logo, o plano U satisfaz a equação
-11x + 2y + z = 0.

Passo 4

Para ter V=U seria necessário que cada gerador de V também satisfizesse a equação do plano U. Verificamos para w_1=(1,2,3):
-11\cdot1 + 2\cdot2 + 3 = -11 + 4 + 3 = -4 \neq 0.
Portanto w_1\notin U.

Passo 5

Como pelo menos um gerador de V não pertence a U, não temos V\subseteq U. Logo, os subespaços não são iguais.

Resposta

Os espaços gerados não são iguais.

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