Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
é uma matriz simétrica então
também é simétrica.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: Se
é uma matriz simétrica então
também é simétrica.”
Informações dadas:
- Sabe-se que
é simétrica, isto é, .
O que é pedido:
- Determinar VERDADEIRA ou FALSA a afirmação e, se for verdadeira, demonstrá-la; se for falsa, fornecer um contra-exemplo.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades que vou usar (explicadas de forma clara):
- Definição: Uma matriz
é simétrica se vale . - Propriedades básicas da transposição (válidas para matrizes de dimensões compatíveis):
-
. Justificativa rápida: a transposição troca linhas por colunas, e a soma é feita elemento a elemento, então transpor a soma é o mesmo que somar as transpostas (elemento de vem do elemento de , que é a soma dos elementos de e , isto é, a soma dos elementos de e ). -
para escalar . Justificativa: a multiplicação por escalar atua em cada entrada e a transposição apenas reindexa, então comutar é imediato. -
. Justificativa: transpor duas vezes retorna à matriz original.
-
- Observação: a soma de matrizes é comutativa:
, pois é soma elemento a elemento.
Vou usar essas propriedades para analisar
e comparar com
.
Passo 3
Calcule a transposta de
usando a propriedade 1:
Agora aplique a propriedade 3 a
:
Usando que a soma de matrizes é comutativa:
Portanto obtém-se
Pela definição de matriz simétrica, isso mostra que
é simétrica.
Passo 4
Apresento também uma visão alternativa, talvez mais direta: como
é simétrica temos
. Então
Aplicando a propriedade da transposta para escalar:
pois
. Logo
é simétrica, o que também prova que
é simétrica.
Passo 5
Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples:
Tome
Tome
que é simétrica porque
. Então
que é visivelmente simétrica (elementos simétricos em relação à diagonal são iguais).]
Passo 6
Conclusão final: a afirmação é verdadeira. Mostrei duas demonstrações (pela propriedade da transposta da soma e pela substituição
que leva a
), e dei um exemplo numérico para ilustrar.
Resposta
VERDADEIRA