Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A é uma matriz simétrica então A+A^{T} também é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: Se A é uma matriz simétrica então A+A^{T} também é simétrica.”
Informações dadas:
  • Sabe-se que A é simétrica, isto é, A = A^{T}.
O que é pedido:
  • Determinar VERDADEIRA ou FALSA a afirmação e, se for verdadeira, demonstrá-la; se for falsa, fornecer um contra-exemplo.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades que vou usar (explicadas de forma clara):
  • Definição: Uma matriz M é simétrica se vale M = M^{T}.
  • Propriedades básicas da transposição (válidas para matrizes de dimensões compatíveis):
    1. (X+Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}. Justificativa rápida: a transposição troca linhas por colunas, e a soma é feita elemento a elemento, então transpor a soma é o mesmo que somar as transpostas (elemento (i,j) de (X+Y)^{T} vem do elemento (j,i) de X+Y, que é a soma dos elementos (j,i) de X e Y, isto é, a soma dos elementos (i,j) de X^{T} e Y^{T}).
    2. (cX)^{T} = c\,X^{T} para escalar c. Justificativa: a multiplicação por escalar atua em cada entrada e a transposição apenas reindexa, então comutar é imediato.
    3. (X^{T})^{T} = X. Justificativa: transpor duas vezes retorna à matriz original.
  • Observação: a soma de matrizes é comutativa: X+Y = Y+X, pois é soma elemento a elemento.
Vou usar essas propriedades para analisar (A + A^{T})^{T} e comparar com A + A^{T}.

Passo 3

Calcule a transposta de A + A^{T} usando a propriedade 1:
(A + A^{T})^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T}.
Agora aplique a propriedade 3 a (A^{T})^{T}:
A^{T} + (A^{T})^{T} = A^{T} + A.
Usando que a soma de matrizes é comutativa:
A^{T} + A = A + A^{T}.
Portanto obtém-se
(A + A^{T})^{T} = A + A^{T}.
Pela definição de matriz simétrica, isso mostra que A + A^{T} é simétrica.

Passo 4

Apresento também uma visão alternativa, talvez mais direta: como A é simétrica temos A^{T}=A. Então
A + A^{T} = A + A = 2A.
Aplicando a propriedade da transposta para escalar:
(2A)^{T} = 2 A^{T} = 2A,
pois A^{T}=A. Logo 2A é simétrica, o que também prova que A + A^{T} é simétrica.

Passo 5

Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples:
Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix},
que é simétrica porque A^{T}=A. Então
A + A^{T} = A + A = 2A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix},
que é visivelmente simétrica (elementos simétricos em relação à diagonal são iguais).]

Passo 6

Conclusão final: a afirmação é verdadeira. Mostrei duas demonstrações (pela propriedade da transposta da soma e pela substituição A^{T}=A que leva a 2A), e dei um exemplo numérico para ilustrar.

Resposta

VERDADEIRA

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