Sejam p e q números reais com p. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(p, q]

Passo 1

No primeiro passo, vamos entender o que a questão pede: queremos uma série de potências em x cujo intervalo de convergência seja exatamente (p,q]. Isso envolve escolher um centro c e um raio R, além de um comportamento nos extremos que garanta convergência em x=q e divergência em x=p.

Passo 2

Para séries de potências usamos a forma geral
sumn=1^infty angl(x-cRgr)^n
com raio de convergência R e centro c. Se |(x-c)/R|<1, a série converge. Nos extremos (x-c)/R=pm1 precisamos testar caso a caso.

Passo 3

Escolhemos o centro e o raio de modo que o intervalo aberto (p,q) corresponda a |(x-c)/R|<1. Basta tomar
c = p+q2, R = q-p2
Então (x-c)/R=1 equivale a x=q e (x-c)/R=-1 equivale a x=p.

Passo 4

Para diferenciar o comportamento nos extremos, definimos os coeficientes
an = (-1)^nn
Assim a série fica
sumn=1^infty (-1)^nngl(x - p+q2q-p2gr)^n

Passo 5

Vamos testar a convergência nos extremos:
  • Se x=q, então (x-c)/R=1 e a série vira sumn=1^infty (-1)^nncdot1^n = sumn=1^infty (-1)^nn, que é a série alternada harmônica e converge (condicionalmente).
  • Se x=p, então (x-c)/R=-1 e a série vira sumn=1^infty (-1)^nn,(-1)^n = sumn=1^infty 1n, que é a série harmônica e diverge. Portanto só convergimos em x=q e em todos p.

Resposta

A série de potências
sumn=1^infty (-1)^nngl(x - p+q2q-p2gr)^n
teve intervalo de convergência exatamente (p,,q].

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