Sejam
e
números reais
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
Passo 1
No primeiro passo, vamos entender o que a questão pede: queremos uma série de potências em
cujo intervalo de convergência seja exatamente
. Isso envolve escolher um centro
e um raio
, além de um comportamento nos extremos que garanta convergência em
e divergência em
.
Passo 2
Para séries de potências usamos a forma geral
com raio de convergência
e centro
. Se
, a série converge. Nos extremos
precisamos testar caso a caso.
Passo 3
Escolhemos o centro e o raio de modo que o intervalo aberto
corresponda a
. Basta tomar
Então
equivale a
e
equivale a
.
Passo 4
Para diferenciar o comportamento nos extremos, definimos os coeficientes
Assim a série fica
Passo 5
Vamos testar a convergência nos extremos:
- Se
, então e a série vira que é a série alternada harmônica e converge (condicionalmente). - Se
, então e a série vira que é a série harmônica e diverge. Portanto só convergimos em e em todos .
Resposta
A série de potências
teve intervalo de convergência exatamente
.