Sejam p, q>1 tais que 1 / p+1 / q=1. Seja (an)n in ellq fixado. Mostre que varphi((xn)n)=sumn in N xn an define um funcional linear contínuo em ellp. Calcule a norma de varphi.

Passo 1

Resumindo, seja p,q>1 com 1/p+1/q=1 e um vetor fixo (an)inellq. Definimos o funcional linear varphicolonellptoK por
varphil((xn)r)=sumninNxn,an
O conteúdo chave para provar continuidade e calcular a norma é a desigualdade de Hölder em espaços ellp e ellq.

Passo 2

Para (xn)inellp aplicamos Hölder a (xn) e (an). Obtemos
sumninN|xn,an|<=l(sumninN|xn|^pr)^1/pl(sumninN|an|^qr)^1/q =|x|p,|a|q
Assim sum xn an converge absolutamente, varphi é bem definido e
|varphi(x)|<=|x|p,|a|q,
o que mostra que varphi é contínuo e |varphi|<=|a|q.

Passo 3

Para ver que consideramos a sequência dada por
onde é o sinal de . Calculamos
logo . Além disso,
mostrando que o supremo na definição de norma é .

Resposta

A norma de varphi é |varphi|=|a|q.

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