Sejam
tais que
. Seja
fixado. Mostre que
define um funcional linear contínuo em
. Calcule a norma de
.
Passo 1
Resumindo, seja
com
e um vetor fixo
. Definimos o funcional linear
por
O conteúdo chave para provar continuidade e calcular a norma é a desigualdade de Hölder em espaços
e
.
Passo 2
Para
aplicamos Hölder a
e
. Obtemos
Assim
converge absolutamente,
é bem definido e
o que mostra que
é contínuo e
.
Passo 3
Para ver que
consideramos a sequência
dada por
onde é o sinal de
. Calculamos
logo
. Além disso,
mostrando que o supremo na definição de norma é
.
Resposta
A norma de
é
.