Sejam e . Verifique que e P1 P3 são ortogonais e determine um ponto P tal que P1, P2, P e P3 formem um retângulo.
Passo 1
Beleza, então temos três pontos no espaço: $ P_{1} = (2, 9, 8) $, $ P_{2} = (6, 4, -2) $ e $ P_{3} = (7, 15, 7) $. A questão pede para a gente verificar se os vetores $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ e $ \overrightarrow{P_{1} P_{3}} $ são ortogonais (ou seja, perpendicularmente entre si) e, além disso, encontrar um ponto $ P $ que, junto com $ P_{1} $, $ P_{2} $ e $ P_{3} $, forme um retângulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular vetores entre pontos, verificar a ortogonalidade através do produto escalar e usar propriedades dos retângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ e $ \overrightarrow{P_{1} P_{3}} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ P_{1} $ das de $ P_{2} $ e $ P_{3} $ respectivamente.
P1 P2
P1 P3
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores $ \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) $ e $ \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) $ é dado por:
u = (ux, uy, uz)
Então, vamos calcular o produto escalar de $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ e $ \overrightarrow{P_{1} P_{3}} $:
v = (vx, vy, vz)
Como o resultado é zero, os vetores são realmente ortogonais.
Passo 4
Agora que sabemos que os vetores são ortogonais, isso nos ajuda a determinar a posição do ponto $ P $ de forma que $ P_{1}, P_{2}, P, P_{3} $ formem um retângulo. Em um retângulo, os vetores que formam os lados adjacentes são ortogonais, e os lados opostos são iguais e paralelos.
Para encontrar $ P $, podemos usar a propriedade de que a soma dos vetores adjacentes deve ser igual à diagonal. Então, temos:
P
Vamos calcular:
P1, P2, P, P3
Agora, para encontrar as coordenadas de $ P $, somamos o vetor $ \overrightarrow{P_{1} P} $ às coordenadas de $ P_{1} $:
P
Resposta
O ponto $ P $ que forma um retângulo com $ P_{1}, P_{2} $ e $ P_{3} $ é $ P = (11, 10, -3) $.