Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de x0
cosh (x) em torno de 0

Passo 1

A questão pede o polinômio de Taylor de ordem 5 (Maclaurin) para f(x)=cosh(x) em torno de x0=0. O conteúdo envolve derivadas sucessivas de cosh e uso da fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Para uma função f, o polinômio de Taylor de ordem n em torno de x0=0 é dado por
Pn(x)=sumk=0^n f^(k)(0)k!x^k
Vamos precisar das derivadas de f até k=5 e avaliá-las em 0.

Passo 3

As derivadas de f(x)=cosh(x) são:
  • f'(x)=sinh(x)
  • f''(x)=cosh(x)
  • f'''(x)=sinh(x)
  • f^(4)(x)=cosh(x)
  • f^(5)(x)=sinh(x)
Avaliando em x=0:
  • f(0)=cosh(0)=1
  • f'(0)=sinh(0)=0
  • f''(0)=cosh(0)=1
  • f'''(0)=sinh(0)=0
  • f^(4)(0)=cosh(0)=1
  • f^(5)(0)=sinh(0)=0

Passo 4

Substituindo os valores não nulos na fórmula de P5(x), mantemos apenas os termos de ordem par:
P5(x)=1+12!x^2+14!x^4

Resposta

1+x^22+x^424

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