Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo), T: V V e S: V V operadores auto-adjuntos.
Mostre que a T+b S é auto-adjunto, se a e b pertencerem a R.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão finita (real ou complexa) com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, e dois operadores auto-adjuntos
T:Vto V, S:Vto V,
isto é,
lang<= Tv,wrang<==lang<= v,Twrang<=, lang<= Sv,wrang<==lang<= v,Swrang<=
para todos v,win V.
Queremos mostrar que, se a,binR, então o operador
aT+bS
também é auto-adjunto.

Passo 2

Sejam v,win V. Usando a bilinearidade (ou sesquilinearidade, no caso complexo) do produto interno e a propriedade de auto-adjuntura de T e S, temos
llang<= (aT+bS)v,;wrrang<= &=llang<= a,T v,;wrrang<=+llang<= b,S v,;wrrang<= &=a,lang<= Tv,wrang<= ;+;b,lang<= Sv,wrang<= &=a,lang<= v,Twrang<= ;+;b,lang<= v,Swrang<= (pois (T) e (S) são auto-adjuntos) &=lang<= v,;a,T wrang<=+lang<= v,;b,S wrang<= &=llang<= v,;(aT+bS)wrrang<= ã
Note que usamos a,binR para que não apareçam complexos conjugados nos coeficientes (caso contrário teríamos bar a e bar b).

Resposta

Portanto, aT+bS satisfaz
lang<=(aT+bS)v,wrang<==lang<= v,(aT+bS)wrang<=
para todos v,win V, ou seja, é auto-adjunto.

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