Exercício 1. (Apostol, capítulo 5.5, exercícios 3 e 4) Seja
um espaço vetorial de dimensão finita (real ou complexo),
e
operadores auto-adjuntos.
Mostre que
é auto-adjunto, se
e
pertencerem a
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão finita (real ou complexa) com produto interno
, e dois operadores auto-adjuntos
isto é,
para todos
.
Queremos mostrar que, se , então o operador
Queremos mostrar que, se
também é auto-adjunto.
Passo 2
Sejam
. Usando a bilinearidade (ou sesquilinearidade, no caso complexo) do produto interno e a propriedade de auto-adjuntura de
e
, temos
Note que usamos
para que não apareçam complexos conjugados nos coeficientes (caso contrário teríamos
e
).
Resposta
Portanto,
satisfaz
para todos
, ou seja, é auto-adjunto.