Duas retas perpendiculares
e
se interceptam no ponto
. Os pontos
da reta
obdecem a equação
. Os pontos em
que distam
de
são:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas retas perpendiculares,
e
, que se cruzam no ponto
. A reta
é dada pela equação
. Nosso objetivo é encontrar os pontos na reta
que estão a uma distância de
do ponto
.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar a inclinação de retas perpendiculares e a fórmula da distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta
. A equação de
está na forma geral
. Para encontrar a inclinação (coeficiente angular), rearranjamos para a forma
.
Então, a inclinação da reta
é
.
Passo 3
Como as retas
e
são perpendiculares, a inclinação de
será o negativo do inverso da inclinação de
. Ou seja:
Então, a inclinação de
é
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta
(
) e sabemos que ela passa pelo ponto
, podemos usar a forma point-slope para escrever a equação de
:
Então, a equação da reta
é
.
Passo 5
Precisamos encontrar os pontos na reta
que estão a uma distância de
do ponto
. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Como
, substituímos na fórmula:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Dividimos ambos os lados por
:
Então,
ou
.
Passo 7
Com os valores de
, encontramos os correspondentes
na reta
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos na reta
que estão a uma distância de
do ponto
são
e
.