Duas retas perpendiculares r e s se interceptam no ponto P=(0,2). Os pontos (x, y) da reta r obdecem a equação r: 2 x+3 y-6=0. Os pontos em s que distam 2 raiz13 de P são:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas retas perpendiculares, e , que se cruzam no ponto . A reta é dada pela equação . Nosso objetivo é encontrar os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto .
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar a inclinação de retas perpendiculares e a fórmula da distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta 2x + 3y - 6 = 0 . A equação de 3y = -2x + 6 está na forma geral y = -23x + 2 . Para encontrar a inclinação (coeficiente angular), rearranjamos para a forma .
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Como as retas ms = -(1mr) = -(1-23) = 32 e são perpendiculares, a inclinação de será o negativo do inverso da inclinação de . Ou seja:
Então, a inclinação de é .

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta y - y1 = ms (x - x1) ( y - 2 = 32(x - 0) ) e sabemos que ela passa pelo ponto y = 32x + 2 , podemos usar a forma point-slope para escrever a equação de :
Então, a equação da reta é .

Passo 5

Precisamos encontrar os pontos na reta Distância = raiz(x - xP)^2 + (y - yP)^2 que estão a uma distância de 2raiz13 = raiz(x - 0)^2 + (32x + 2 - 2)^2 do ponto 2raiz13 = raizx^2 + (32x)^2 . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
2raiz13 = raizx^2 + 94x^2 â
Como 2raiz13 = raiz134x^2 , substituímos na fórmula:
2raiz13 = raiz132|x|

Passo 6

Agora, resolvemos para 2raiz13 = raiz132|x| :
4raiz13 = raiz13|x|
Multiplicamos ambos os lados por 2:
4 = |x|
Dividimos ambos os lados por :
Então, ou .

Passo 7

Com os valores de y = 32(4) + 2 = 6 + 2 = 8 , encontramos os correspondentes y = 32(-4) + 2 = -6 + 2 = -4 na reta :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto são e .

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