Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integral-raiz3^raiz3 f(arctg x)1+x^2 d x, sendo f contínua e par tal que integral0^pi / 3 f(x) d x=12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-raiz3^raiz3fl(arctgxr)1+x^2,dx,
sabendo que f é contínua, par (isto é, f(-t)=f(t)) e que
integral0^pi/3f(x),dx=tfrac12
O conteúdo principal aqui é usar a substituição x=tan t para eliminar o denominador 1+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = tan t,
então
dx = sec^2 t,dt e 1+x^2 = 1+tan^2 t = sec^2 t
Logo,
dx1+x^2 = sec^2 t,dtsec^2 t = dt

Passo 3

Precisamos também alterar os limites de integração. Quando x=-raiz3, temos
t = arctg(-raiz3) = -pi3,
e quando x=raiz3,
t = arctg(raiz3) = pi3
Além disso, arctgx = t. Logo, a integral vira
integral-raiz3^raiz3f(arctgx)1+x^2,dx = integral-pi/3^pi/3f(t),dt

Passo 4

Como f é função par, vale f(-t)=f(t). Para qualquer a>0,
integral-a^af(t),dt = 2integral0^af(t),dt
Aplicando com a=pi/3, obtemos
integral-pi/3^pi/3f(t),dt = 2integral0^pi/3f(t),dt

Passo 5

Pelo dado do enunciado, integral0^pi/3f(t),dt=tfrac12. Portanto,
integral-pi/3^pi/3f(t),dt = 2cdot tfrac12 = 1

Resposta

1

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