Verifique que F(x)=(7 x-2)^428+2 é uma primitiva de f(x)=(7 x-2)^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função F(x)=(7x-2)^428+2 é primitiva de f(x)=(7x-2)^3. Isso significa verificar que F'(x)=f(x). Vamos usar a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Começamos derivando F(x). Como o termo tfrac(7x-2)^428 é uma constante tfrac128 multiplicando uma função composta (7x-2)^4, temos:
F'(x)=128cdot4(7x-2)^3cdotddx(7x-2)+ddx(2)

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais: ddx(7x-2)=7 e ddx(2)=0. Substituindo:
F'(x)=128cdot4(7x-2)^3cdot7+0=2828(7x-2)^3=(7x-2)^3

Passo 4

Portanto, F'(x)=(7x-2)^3=f(x), o que prova que F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

Sim. Como mostramos, F'(x)=(7x-2)^3=f(x), logo F(x)=(7x-2)^428+2 é uma primitiva de f(x).

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