Calcule o determinante das matrizes a seguir:
E=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 3 \\\\ -1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(E) para
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 3 \\[6pt] -1 & 2 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4\times4 e vamos usar operações elementares de linha para triangularizar E, lembrando como cada operação afeta o determinante.]

Passo 2

Primeiro, somamos a primeira linha à terceira para zerar o elemento -1 em E_{31}. Como adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante, definimos
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \text{R}_1,
obtendo a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 1 & 3 \\[3pt] 0 & 2 & 2 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos o pivô 1 em posição (2,2) para eliminar abaixo:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\,\text{R}_2, \quad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \text{R}_2.
Novamente, essas operações não mudam o determinante. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 1 & 3 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & -5 \\[3pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para obter forma triangular, trocamos agora a terceira e a quarta linhas:
\text{R}_3 \leftrightarrow \text{R}_4.
Cada troca de linhas multiplica o determinante por -1. Assim chegamos a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 1 & 3 \\[3pt] 0 & 0 & -1 & -1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora que a matriz está triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal vezes -1 pela troca de linhas:
\det(E) = (-1)\times(1)\times(1)\times(-1)\times(-5) = -1 \times 5 = -5.

Resposta

\det(E)=-5

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