Sejam os pontos
, determine:
O valor numérico de
, para que
e
pertençam, respectivamente, a bissetrizes dos quadrantes ímpares e a bissetriz dos quadrantes pares.
O valor numérico de
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no plano cartesiano:
Pede-se: determinar o valor numérico de
de modo que
-
pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares, e -
pertença à bissetriz dos quadrantes pares.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que são as bissetrizes dos quadrantes (explicação didática, sem pular etapas).
- A bissetriz que divide os quadrantes ímpares (quadrantes I e III) é a reta que faz um ângulo de
com os eixos e passa pela origem. Essa reta é a que tem equação
Raciocínio: pontos da forma
(com
no 1.º quadrante e
no 3.º) estão sobre essa reta, logo ela fica exatamente no meio entre I e III.
- A bissetriz que divide os quadrantes pares (quadrantes II e IV) é a reta que faz ângulo de
com os eixos e passa pela origem. Essa reta tem equação
Raciocínio: pontos da forma
(com
no 4.º e
no 2.º) estão sobre essa reta, logo ela fica exatamente no meio entre II e IV.
Agora que sabemos as duas equações, podemos aplicar as condições ao ponto
e ao ponto
.
Passo 3
Condição para
pertencer à bissetriz dos quadrantes ímpares: como essa bissetriz é a reta
, as coordenadas de
devem satisfazer
Substituindo as coordenadas de
:
Agora isolo
. Subtraio
dos dois lados:
Portanto obtemos
Passo 4
Condição para
pertencer à bissetriz dos quadrantes pares: essa bissetriz é a reta
. Assim as coordenadas de
devem satisfazer
Substituindo as coordenadas de
:
Desenvolvo o lado direito:
Agora isolo
adicionando
aos dois lados:
Passo 5
Agora uso as duas expressões que encontramos para
:
Como ambas valem
, igualo-as:
Subtraio
dos dois lados para achar
:
Passo 6
A pergunta pede o valor de
. Com
,