Sejam os pontos A(1,2), B(-1,3), C(m+n, 3 m), D(m-n, 4), determine:
O valor numérico de 10 m, para que C e D pertençam, respectivamente, a bissetrizes dos quadrantes ímpares e a bissetriz dos quadrantes pares.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no plano cartesiano:
  • A(1,2)
  • B(-1,3)
  • C(m+n,\,3m)
  • D(m-n,\,4)
Pede-se: determinar o valor numérico de 10m de modo que
  • C pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares, e
  • D pertença à bissetriz dos quadrantes pares.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que são as bissetrizes dos quadrantes (explicação didática, sem pular etapas).
  • A bissetriz que divide os quadrantes ímpares (quadrantes I e III) é a reta que faz um ângulo de 45^\circ com os eixos e passa pela origem. Essa reta é a que tem equação
y = x.
Raciocínio: pontos da forma (t,t) (com t>0 no 1.º quadrante e t<0 no 3.º) estão sobre essa reta, logo ela fica exatamente no meio entre I e III.
  • A bissetriz que divide os quadrantes pares (quadrantes II e IV) é a reta que faz ângulo de -45^\circ com os eixos e passa pela origem. Essa reta tem equação
y = -x.
Raciocínio: pontos da forma (t,-t) (com t>0 no 4.º e t<0 no 2.º) estão sobre essa reta, logo ela fica exatamente no meio entre II e IV.
Agora que sabemos as duas equações, podemos aplicar as condições ao ponto C e ao ponto D.

Passo 3

Condição para C pertencer à bissetriz dos quadrantes ímpares: como essa bissetriz é a reta y=x, as coordenadas de C devem satisfazer
\text{(coordenada \(y\) de \(C\))} = \text{(coordenada \(x\) de \(C\))}.
Substituindo as coordenadas de C(m+n,\,3m):
3m = m + n.
Agora isolo n. Subtraio m dos dois lados:
3m - m = n \quad\Rightarrow\quad 2m = n.
Portanto obtemos
n = 2m.

Passo 4

Condição para D pertencer à bissetriz dos quadrantes pares: essa bissetriz é a reta y=-x. Assim as coordenadas de D devem satisfazer
\text{(coordenada \(y\) de \(D\))} = -\,\text{(coordenada \(x\) de \(D\))}.
Substituindo as coordenadas de D(m-n,\,4):
4 = -\bigl(m - n\bigr).
Desenvolvo o lado direito:
4 = -m + n.
Agora isolo n adicionando m aos dois lados:
n = m + 4.

Passo 5

Agora uso as duas expressões que encontramos para n:
n = 2m \qquad\text{e}\qquad n = m + 4.
Como ambas valem n, igualo-as:
2m = m + 4.
Subtraio m dos dois lados para achar m:
2m - m = 4 \quad\Rightarrow\quad m = 4.

Passo 6

A pergunta pede o valor de 10m. Com m=4,
10m = 10\cdot 4 = 40.

Resposta

40

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