1. Sejam os pontos do espaço
$$A(1,2,3), B(4,-1,5), C(-2,0,1)
a) Determine \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço com coordenadas cartesianas:
  • A(1,2,3)
  • B(4,-1,5)
  • C(-2,0,1)
O que o item (a) pede:
  • Determinar \overrightarrow{AB}.
  • Determinar \overrightarrow{AC}.
Informações relevantes: cada ponto tem coordenadas (x,y,z). Para obter o vetor entre dois pontos precisamos das diferenças coordenada a coordenada.

Passo 2

Conceito e fórmula (explicação didática): o vetor que vai de um ponto P(x_P,y_P,z_P) até um ponto Q(x_Q,y_Q,z_Q) é dado pela diferença das coordenadas de Q e P. Em notação:
\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P,\; z_Q-z_P).
O que isso significa na prática: para cada componente (eixo x, eixo y, eixo z) subtrai-se a coordenada do ponto inicial da coordenada do ponto final. O resultado é um vetor com três componentes que indica deslocamento ao longo de cada eixo.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \overrightarrow{AB}. Aqui P=A e Q=B, logo:
\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A).
Substituindo as coordenadas:
\overrightarrow{AB} = (4-1,\; -1-2,\; 5-3).
Calculando cada componente:
4-1=3,\qquad -1-2=-3,\qquad 5-3=2.
Portanto
\overrightarrow{AB} = (3,-3,2).
Uma forma equivalente (usada às vezes) é escrever em termos dos vetores unitários:
\overrightarrow{AB} = 3\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

Passo 4

Agora \overrightarrow{AC}. Aqui P=A e Q=C, então:
\overrightarrow{AC} = (x_C-x_A,\; y_C-y_A,\; z_C-z_A).
Substituindo:
\overrightarrow{AC} = (-2-1,\; 0-2,\; 1-3).
Calculando cada componente:
-2-1=-3,\qquad 0-2=-2,\qquad 1-3=-2.
Logo
\overrightarrow{AC} = (-3,-2,-2).
Também pode ser escrito como
\overrightarrow{AC} = -3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}.

Resposta

\overrightarrow{AB}=(3,-3,2)
\overrightarrow{AC}=(-3,-2,-2)

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