Calcule:
c) 2 \vec{u}+3 \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede calcular 2\vec{u}+3\vec{v}.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma além da expressão a calcular — os vetores \vec{u} e \vec{v} NÃO foram fornecidos.
Conclusão imediata: não é possível obter um resultado numérico sem saber os componentes (ou a forma) de \vec{u} e \vec{v}. Vou, entretanto, mostrar passo a passo como calcular 2\vec{u}+3\vec{v} quando os vetores forem dados, explicar cada conceito e fazer exemplos numéricos para treinar.

Passo 2

Representação por componentes (hipótese necessária). Suponha que \vec{u} e \vec{v} tenham a mesma dimensão n e sejam dadas por
\vec{u}=(u_{1},u_{2},\dots,u_{n})
\vec{v}=(v_{1},v_{2},\dots,v_{n}).
Aqui cada u_{i} e v_{i} é a i-ésima componente real do respectivo vetor. É imprescindível que os dois vetores tenham o mesmo número de componentes para somá-los.

Passo 3

Regra da multiplicação de um vetor por escalar. Se c é um número real e \vec{w}=(w_{1},\dots,w_{n}), então
c\vec{w}=(c w_{1},c w_{2},\dots,c w_{n}).
Explicação clara: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar, componente a componente.

Passo 4

Regra da soma de vetores. Se \vec{a}=(a_{1},\dots,a_{n}) e \vec{b}=(b_{1},\dots,b_{n}), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots,a_{n}+b_{n}).
Explicação: somar vetores significa somar suas componentes correspondentes.

Passo 5

Aplicando as regras anteriores ao problema. Primeiro calcula-se 2\vec{u} e 3\vec{v} usando Passo 3, depois soma-se usando Passo 4. Obtemos a forma componente a componente:
2\vec{u}=(2u_{1},2u_{2},\dots,2u_{n})
3\vec{v}=(3v_{1},3v_{2},\dots,3v_{n})
portanto
2\vec{u}+3\vec{v}=(2u_{1}+3v_{1},\,2u_{2}+3v_{2},\,\dots,\,2u_{n}+3v_{n}).
Isto é a fórmula geral: cada componente do resultado é 2 vezes a componente correspondente de \vec{u} mais 3 vezes a componente correspondente de \vec{v}.

Passo 6

Exemplo numérico em \mathbb{R}^{2} (passo a passo). Suponha que os vetores fossem dados por
\vec{u}=(1,2),\qquad \vec{v}=(3,4).
Calcule 2\vec{u}:
2\vec{u}=(2\cdot1,\,2\cdot2)=(2,4).
Calcule 3\vec{v}:
3\vec{v}=(3\cdot3,\,3\cdot4)=(9,12).
Agora some componente a componente:
2\vec{u}+3\vec{v}=(2+9,\,4+12)=(11,16).
Comentário amigo: olha só — cada passo é só multiplicar e somar números simples; na prova, escreva exatamente essa sequência para evitar erros.

Passo 7

Dicas práticas para a prova
  • Sempre verifique que \vec{u} e \vec{v} têm a mesma dimensão; se não tiverem, a soma não faz sentido.
  • Se os vetores vierem em forma coluna, trate-os da mesma forma (multiplica-se entradas e soma-se entradas correspondentes).
  • Se os vetores estiverem descritos geometricamente (por exemplo, como \overrightarrow{AB}), primeiro determine suas componentes (diferença de coordenadas) e depois aplique os passos acima.
  • Se der pressa, faça um rascunho: calcule 2\vec{u}, depois 3\vec{v}, depois some — isso evita confundir coeficientes.

Resposta

Não é possível calcular numericamente porque \vec{u} e \vec{v} não foram fornecidos. Em forma geral:
2\vec{u}+3\vec{v}=(2u_{1}+3v_{1},\,2u_{2}+3v_{2},\,\dots,\,2u_{n}+3v_{n}).

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