Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
x^2+y^2+z^2+2 x y-4=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a superfície dada pela equação
x^2+y^2+z^2+2xy-4=0
é uma esfera. Lembrando que uma superfície é esfera quando seu termo quadrático pode ser escrito como lambda(x^2+y^2+z^2) (para algum lambda) e não há termos mistos após um possível deslocamento de eixos.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática como forma bilinear:
Para ser esfera, essa matriz deveria ser proporcional à identidade, mas ela não é (os elementos off-diagonais não são nulos em todas as direções).

Passo 3

Outra forma é completar quadrados no plano xy:
x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2
Então a equação fica
(x+y)^2 + z^2 - 4 = 0
Como não aparece nenhum termo que envolva a combinação perpendicular a (x+y), ou seja, a direção x-y é livre, isso descreve um cilindro de eixo paralelo à reta x-y, não uma esfera.

Resposta

A equação não define superfície esférica.

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