Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a superfície dada pela equação
é uma esfera. Lembrando que uma superfície é esfera quando seu termo quadrático pode ser escrito como
(para algum
) e não há termos mistos após um possível deslocamento de eixos.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática como forma bilinear:
Para ser esfera, essa matriz deveria ser proporcional à identidade, mas ela não é (os elementos off-diagonais não são nulos em todas as direções).
Passo 3
Outra forma é completar quadrados no plano
:
Então a equação fica
Como não aparece nenhum termo que envolva a combinação perpendicular a
, ou seja, a direção
é livre, isso descreve um cilindro de eixo paralelo à reta
, não uma esfera.
Resposta
A equação não define superfície esférica.