Seja (V,+, cdot) um K-espaço vetorial. Analise se as afirmativas a seguir são verdadeiras ou falsas:
(a) O elemento neutro de V é único.
(b) lambda cdot v=0 Rightarrow lambda=0 ou v=0.
(c) alpha cdot v=beta cdot v Rightarrow alpha=beta, forall v in V.
(d) alpha cdot v=beta cdot v Rightarrow alpha=beta, forall v in V com v neq 0.
(e) alpha cdot v=alpha cdot u Rightarrow u=v, forall alpha in K.
(f) alpha cdot v=alpha cdot u Rightarrow u=v, forall alpha in K com alpha neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar seis afirmações sobre um espaço vetorial (V,+,cdot) sobre um corpo K: unicidade do elemento neutro e propriedades de cancelamento na multiplicação escalar.

Passo 2

Em um espaço vetorial, existe exatamente um elemento neutro aditivo 0. Se houvesse dois, e e e', teríamos e = e + e' = e'. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), usamos que K é corpo. Se lambda v = 0, então (lambdaneq 0) implica v=lambda^-1(lambda v)=lambda^-10=0. Se vneq0, só resta lambda=0. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Na (c), a implicação diz que de alpha v = beta v segue alpha=beta para todo v. Mas para v=0 sempre alpha0=beta0=0, sem forçar alpha=beta. Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

A (d) restringe vneq0. Então (alpha-beta)v=0 força alpha-beta=0 (pois v não é nulo), ou seja alpha=beta. Logo, (d) é verdadeira.

Passo 6

Em (e), para alpha v=alpha u e qualquer alpha, ao escolhermos alpha=0 não conseguimos concluir u=v. Assim, (e) é falsa.

Passo 7

A (f) impõe alphaneq 0. Então podemos multiplicar por alpha^-1 e obter v=u. Logo, (f) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira

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