Seja
um
-espaço vetorial. Analise se as afirmativas a seguir são verdadeiras ou falsas:
(a) O elemento neutro de
é único.
(b)
ou
.
(c)
.
(d)
com
.
(e)
.
(f)
.
(a) O elemento neutro de
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para analisar seis afirmações sobre um espaço vetorial
sobre um corpo
: unicidade do elemento neutro e propriedades de cancelamento na multiplicação escalar.
Passo 2
Em um espaço vetorial, existe exatamente um elemento neutro aditivo
. Se houvesse dois,
e
, teríamos
. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b), usamos que
é corpo. Se
, então
implica
. Se
, só resta
. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
Na (c), a implicação diz que de
segue
para todo
. Mas para
sempre
, sem forçar
. Portanto, (c) é falsa.
Passo 5
A (d) restringe
. Então
força
(pois
não é nulo), ou seja
. Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
Em (e), para
e qualquer
, ao escolhermos
não conseguimos concluir
. Assim, (e) é falsa.
Passo 7
A (f) impõe
. Então podemos multiplicar por
e obter
. Logo, (f) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira