Sejam os pontos P(8,2,1) e Q(-2,7,4) expressos em coordenadas cartesianas. Determine: (a) as coordenadas cilíndricas de cada ponto; (b) a expressão de um vetor, em coordenadas cilíndricas, sabendo que tal vetor une o ponto P ao ponto Q ; © idem para um vetor no ponto Q , sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P . (Note que o último resultado não é simétrico do resultado anterior porque arho e avarphi têm direções diferentes nos dois pontos.)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos dois pontos em coordenadas cartesianas,
P(8,2,1) e Q(–2,7,4), e pede:
a) converter cada ponto para coordenadas cilíndricas ;
b) achar o vetor expresso nas componentes cilíndricas definidas em P;
c) achar o vetor expresso nas componentes cilíndricas definidas em Q.
Para isso, a teoria que vamos usar é:
  • Conversão cartesianas cilíndricas:
    (com cuidado do quadrante), .
  • Base cilíndrica num ponto :
  • Para expressar um vetor em componentes cilíndricas, fazemos

Passo 2

(a) Converter P e Q:
Para P(8,2,1):
Prm cil=l(,2raiz17,;arctan(tfrac14),;1r)
Qrm cil=l(,raiz53,;arctan(tfrac7-2)+pi,;4r)

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Para Q(–2,7,4):

o ângulo está no 2º quadrante, então

Passo 3

(b) Vetor PQ = Q-P = (-2-8,;7-2,;4-1)=(-10,;5,;3) em cartesiano é
vrho^P = (-10,5,3)cdot(tfrac4raiz17,tfrac1raiz17,0) =-40+5raiz17=-35raiz17,
Agora as bases em P são
vvarphi^P = (-10,5,3)cdot(-tfrac1raiz17,tfrac4raiz17,0) =10+20raiz17=30raiz17,
vz^P = 3

Projetações:

Passo 4

© Vetor vrho^Q = (10,-5,-3)cdotl(-tfrac2raiz53,,tfrac7raiz53,0r) =-20-35raiz53=-55raiz53, . Bases em Q:
vvarphi^Q = (10,-5,-3)cdotl(-tfrac7raiz53,-tfrac2raiz53,0r) =-70+10raiz53=-60raiz53,
Projetações:
vz^Q = -3

Resposta

a)
P ,
Q .
b)
c)

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