Simplifique as seguintes expressões usando equivalências lógicas:
\neg(p \wedge \neg q) \vee \neg(\neg p \vee q)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão lógica usando equivalências. A expressão dada é
\neg(p \wedge \neg q) \vee \neg(\neg p \vee q).
O que precisamos entregar: uma forma simplificada (usando leis lógicas) e, se possível, identificar se é uma tautologia, contradição ou contingência.

Passo 2

Aplicar as Leis de De Morgan nas duas negações compostas. Lembre que as Leis de De Morgan dizem:
\neg(A \wedge B) \equiv \neg A \vee \neg B \qquad\text{e}\qquad \neg(A \vee B) \equiv \neg A \wedge \neg B.
Aplicando a primeira parte \neg(p \wedge \neg q):
\neg(p \wedge \neg q) \equiv \neg p \vee \neg(\neg q).
Aplicando a segunda parte \neg(\neg p \vee q):
\neg(\neg p \vee q) \equiv \neg(\neg p) \wedge \neg q.

Passo 3

Usar dupla negação para simplificar \neg(\neg q) e \neg(\neg p). A lei da dupla negação é \neg(\neg X)\equiv X. Assim:
\neg p \vee \neg(\neg q) \equiv \neg p \vee q,
\neg(\neg p) \wedge \neg q \equiv p \wedge \neg q.
Portanto a expressão original vira
(\neg p \vee q) \vee (p \wedge \neg q).

Passo 4

Vamos simplificar (\neg p \vee q) \vee (p \wedge \neg q). Use a lei distributiva que diz
X \vee (Y \wedge Z) \equiv (X \vee Y) \wedge (X \vee Z).
Tomando X = \neg p \vee q, Y = p, Z = \neg q, obtemos
(\neg p \vee q) \vee (p \wedge \neg q) \equiv (\neg p \vee q \vee p) \wedge (\neg p \vee q \vee \neg q).

Passo 5

Agora simplificamos cada disjunção usando a Lei do Terceiro Excluído (ou Lei do Terceiro): p \vee \neg p \equiv \top (sempre verdadeiro) e q \vee \neg q \equiv \top. Observe:
\neg p \vee q \vee p \equiv (p \vee \neg p) \vee q \equiv \top \vee q \equiv \top,
\neg p \vee q \vee \neg q \equiv \neg p \vee (q \vee \neg q) \equiv \neg p \vee \top \equiv \top.
Portanto temos
(\neg p \vee q \vee p) \wedge (\neg p \vee q \vee \neg q) \equiv \top \wedge \top.

Passo 6

Finalmente, \top \wedge \top \equiv \top. Isso significa que a expressão é verdadeira para quaisquer valores de p e q: é uma tautologia. Parabéns — apesar de parecer complicada, usando De Morgan, dupla negação, distributividade e a lei do terceiro excluído chegamos rapidamente ao resultado.

Resposta

Tautologia (sempre verdadeira)

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