Sejam os predicados:
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Passo 1
O enunciado dá os predicados
e
com domínio nos números inteiros. Pede-se que eu escreva em português o significado da expressão
e determine o seu valor-verdade. Não há outras fórmulas a avaliar aqui.
Passo 2
O que significa o símbolo
? O quantificador universal
significa “para todo
no domínio”. Então a expressão
é uma afirmação que diz que a propriedade
vale para todos os elementos do domínio. De forma precisa:
é verdadeira se, e somente se, para cada inteiro
temos
verdadeira; basta existir um inteiro
tal que
seja falsa para que
seja falsa.
Passo 3
Agora escrevendo em português: a expressão
quer dizer
Para todo inteiro ,
.
Ou, dito de outro modo: “todo número inteiro é maior ou igual a zero”.
Para todo inteiro
Ou, dito de outro modo: “todo número inteiro é maior ou igual a zero”.
Passo 4
Como avaliar o valor-verdade? Para provar que
é verdadeira seria necessário verificar que cada inteiro satisfaz
— impossível de fazer enumerando todos, mas podemos raciocinar sobre a propriedade do conjunto dos inteiros. Para mostrar que
é falsa basta encontrar um contraexemplo: um inteiro
para o qual
falhe (isto é, um inteiro com
).
Passo 5
Construindo um contraexemplo simples: escolha
. Então calculamos
, ou seja, verificamos
. Essa desigualdade é falsa, pois
é menor que
. Assim existe um inteiro (por exemplo
) para o qual
não vale. Pelo raciocínio do passo anterior, isso basta para concluir que a afirmação universal é falsa.
Passo 6
Conclusão final: a tradução em português é “todo inteiro é maior ou igual a zero” e essa afirmação é falsa porque há inteiros negativos (contraexemplo:
). Força aí — você já sabe o truque: para negar uma
basta achar um contraexemplo.
Resposta
Para todo inteiro
,
.
Valor-verdade: Falso.
Valor-verdade: Falso.