Sejam os predicados:
P(x): x \geq 0 \quad \text { e } \quad Q(x): x \text { é múltiplo de } 3éú
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
$ \forall x P(x)

Passo 1

O enunciado dá os predicados \;P(x): x \geq 0\; e \;Q(x): x \text{ é múltiplo de } 3\;éú com domínio nos números inteiros. Pede-se que eu escreva em português o significado da expressão
\forall x\, P(x)
e determine o seu valor-verdade. Não há outras fórmulas a avaliar aqui.

Passo 2

O que significa o símbolo \forall? O quantificador universal \forall x significa “para todo x no domínio”. Então a expressão \forall x\, P(x) é uma afirmação que diz que a propriedade P vale para todos os elementos do domínio. De forma precisa: \forall x\, P(x) é verdadeira se, e somente se, para cada inteiro x temos P(x) verdadeira; basta existir um inteiro x tal que P(x) seja falsa para que \forall x\, P(x) seja falsa.

Passo 3

Agora escrevendo em português: a expressão \forall x\, P(x) quer dizer
Para todo inteiro x, x \geq 0.
Ou, dito de outro modo: “todo número inteiro é maior ou igual a zero”.

Passo 4

Como avaliar o valor-verdade? Para provar que \forall x\, P(x) é verdadeira seria necessário verificar que cada inteiro satisfaz x\ge 0 — impossível de fazer enumerando todos, mas podemos raciocinar sobre a propriedade do conjunto dos inteiros. Para mostrar que \forall x\, P(x) é falsa basta encontrar um contraexemplo: um inteiro x para o qual P(x) falhe (isto é, um inteiro com x<0).

Passo 5

Construindo um contraexemplo simples: escolha x = -1. Então calculamos P(-1), ou seja, verificamos -1 \geq 0. Essa desigualdade é falsa, pois -1 é menor que 0. Assim existe um inteiro (por exemplo x=-1) para o qual P(x) não vale. Pelo raciocínio do passo anterior, isso basta para concluir que a afirmação universal é falsa.

Passo 6

Conclusão final: a tradução em português é “todo inteiro é maior ou igual a zero” e essa afirmação é falsa porque há inteiros negativos (contraexemplo: x=-1). Força aí — você já sabe o truque: para negar uma \forall basta achar um contraexemplo.

Resposta

Para todo inteiro x, x \geq 0.
Valor-verdade: Falso.

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