Se
, então
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade para quaisquer
:
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado):
- As variáveis
e são números reais. - A função
é o valor absoluto (módulo) de um número real.
Passo 2
Definição e propriedade básica do valor absoluto (sem pular etapas).
Por definição,
Por definição,
Dessa definição segue imediatamente a desigualdade
para todo
. Vamos justificar essa implicação com calma:
- Se
então . Assim , logo . - Se
então . Assim e , logo .
Portanto a desigualdadevale sempre.]
Passo 3
Aplicar essa propriedade a
e a
separadamente.
Para temos
Para
e para
temos
Passo 4
Somar as duas desigualdades linha a linha (justificativa: se
e
então
).
Somando com
obtemos, em cada extremidade,
Somando
Passo 5
Converter a desigualdade obtida em uma desigualdade com valor absoluto.
A desigualdade anterior diz que o número está entre
e
, onde
:
A desigualdade anterior diz que o número
Se um real
satisfaz
, então
. Aplicando isso a
e
obtemos
Essa é exatamente a desigualdade que queríamos provar.
Passo 6
Observação adicional (útil na prova/na prova oral): quando ocorre igualdade?
- Se
e têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos), então .
Exemplos rápidos para fixar: -
: e (igualdade). -
: e (desigualdade estrita).