Se x, y \in \mathbb{R}, então
|x+y| \leq|x|+|y|

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade para quaisquer x,y\in\mathbb{R}:
|x+y| \leq |x| + |y|.
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado):
  • As variáveis x e y são números reais.
  • A função |\cdot| é o valor absoluto (módulo) de um número real.

Passo 2

Definição e propriedade básica do valor absoluto (sem pular etapas).
Por definição,
|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
Dessa definição segue imediatamente a desigualdade
-|t| \le t \le |t|
para todo t\in\mathbb{R}. Vamos justificar essa implicação com calma:
  • Se t\ge0 então |t|=t. Assim -|t| = -t \le t = |t|, logo -|t|\le t\le |t|.
  • Se t<0 então |t|=-t. Assim -|t| = -(-t)=t e t \le -t = |t|, logo -|t|\le t\le |t|.
    Portanto a desigualdade -|t|\le t\le |t| vale sempre.]

Passo 3

Aplicar essa propriedade a x e a y separadamente.
Para x temos
-|x| \le x \le |x|,
e para y temos
-|y| \le y \le |y|.

Passo 4

Somar as duas desigualdades linha a linha (justificativa: se a\le b e c\le d então a+c\le b+d).
Somando -|x|\le x\le |x| com -|y|\le y\le |y| obtemos, em cada extremidade,
-(|x|+|y|) \le x+y \le |x|+|y|.

Passo 5

Converter a desigualdade obtida em uma desigualdade com valor absoluto.
A desigualdade anterior diz que o número x+y está entre -M e M, onde M=|x|+|y|:
- M \le x+y \le M.
Se um real z satisfaz -M\le z\le M, então |z|\le M. Aplicando isso a z=x+y e M=|x|+|y| obtemos
|x+y| \le |x| + |y|.
Essa é exatamente a desigualdade que queríamos provar.

Passo 6

Observação adicional (útil na prova/na prova oral): quando ocorre igualdade?
  • Se x e y têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos), então |x+y| = |x|+|y|.
    Exemplos rápidos para fixar:
  • x=2,\\ y=4: |x+y|=|6|=6 e |x|+|y|=2+4=6 (igualdade).
  • x=3,\\ y=-5: |x+y|=|{-2}|=2 e |x|+|y|=3+5=8 (desigualdade estrita).

Resposta

|x+y| \le |x| + |y|

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