Sejam as proposições:
  • p: n é um número par.
  • q: n é múltiplo de 4 .
  • r: n é maior que 10.
  • s : n é menor ou igual a 20 .
Considerando o conjunto universo \mathbb{U}=\mathbb{Z}, determine o conjunto verdade das proposições:
(p \vee q) \wedge(\neg r \vee s).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Universo: \mathbb{U}=\mathbb{Z} (todos os inteiros).
  • Proposições atômicas dadas:
    • p: n é um número par.
    • q: n é múltiplo de 4.
    • r: n>10.
    • s: n\le20.
  • Expressão cujo conjunto verdade queremos determinar: (p \vee q)\wedge(\neg r \vee s).
O objetivo é listar todos os inteiros n para os quais essa fórmula é verdadeira.

Passo 2

Interpretação das partes atômicas como propriedades sobre n:
  • p significa \,n é par, ou seja \exists k\in\mathbb{Z}:\; n=2k.
  • q significa \,n é múltiplo de 4, ou seja \exists m\in\mathbb{Z}:\; n=4m.
  • r significa \,n>10.
  • s significa \,n\le20.
  • \neg r significa \,n\le10.
Portanto a segunda parte \neg r\vee s é a disjunção (n\le10)\vee(n\le20).

Passo 3

Simplificar a primeira parte p\vee q. Aqui usamos uma observação simples sobre números:
Se n é múltiplo de 4 então n=4m=2(2m), logo n é par. Em símbolos:
q \Rightarrow p.
Quando uma proposição implica a outra, a disjunção delas é equivalente à proposição mais fraca (aquela implicada). Logo
p\vee q \iff p.
Intuição: quem já é múltiplo de 4 já satisfaz p; então pedir p ou q é o mesmo que pedir apenas p.

Passo 4

Simplificar a segunda parte \neg r\vee s. Substituindo as interpretações:
\neg r \vee s \iff (n\le10)\vee(n\le20).
Ora, se n\le10 então automaticamente n\le20. Portanto a união desses dois conjuntos de inteiros é simplesmente \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le20\}. Em termos lógicos:
(n\le10)\vee(n\le20)\iff n\le20.

Passo 5

Juntando as simplificações dos Passos 3 e 4, a fórmula original fica equivalente a:
p \wedge (n\le20),
ou seja
\text{\(n\) é par} \quad\text{e}\quad n\le20.é
Em palavras: todos os inteiros pares menores ou iguais a 20.

Passo 6

Escrever o conjunto verdade de forma clara. Como conjunto:
\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\le20\\ \text{e}\\ n\\ \text{é par}\,\}.é
Enumerando (mostrando os últimos termos até 20):
\{\ldots,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}.
Dica prática para prova: ao ver p\vee q verifique se uma das proposições implica a outra (aí a disjunção simplifica). Para a segunda parte, converta \neg r e compare com s — muitas disjunções com desigualdades se reduzem por inclusão de intervalos.

Resposta

\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\le20\\ \text{e}\\ n\\ \text{é par}\,\}é

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