Sejam as proposições:
-
é um número par.
-
é múltiplo de 4 .
-
é maior que 10.
-
:
é menor ou igual a 20 .
Considerando o conjunto universo
, determine o conjunto verdade das proposições:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Universo:
(todos os inteiros). - Proposições atômicas dadas:
-
é um número par. -
é múltiplo de . -
. -
.
-
- Expressão cujo conjunto verdade queremos determinar:
O objetivo é listar todos os inteiros
para os quais essa fórmula é verdadeira.
Passo 2
Interpretação das partes atômicas como propriedades sobre
:
-
significa é par, ou seja . -
significa é múltiplo de , ou seja . -
significa . -
significa . -
significa .
Portanto a segunda parte
é a disjunção
.
Passo 3
Simplificar a primeira parte
. Aqui usamos uma observação simples sobre números:
Se
é múltiplo de
então
, logo
é par. Em símbolos:
Quando uma proposição implica a outra, a disjunção delas é equivalente à proposição mais fraca (aquela implicada). Logo
Intuição: quem já é múltiplo de
já satisfaz
; então pedir
ou
é o mesmo que pedir apenas
.
Passo 4
Simplificar a segunda parte
. Substituindo as interpretações:
Ora, se
então automaticamente
. Portanto a união desses dois conjuntos de inteiros é simplesmente
. Em termos lógicos:
Passo 5
Juntando as simplificações dos Passos 3 e 4, a fórmula original fica equivalente a:
ou seja
Em palavras: todos os inteiros pares menores ou iguais a
.
Passo 6
Escrever o conjunto verdade de forma clara. Como conjunto:
Enumerando (mostrando os últimos termos até
):
Dica prática para prova: ao ver
verifique se uma das proposições implica a outra (aí a disjunção simplifica). Para a segunda parte, converta
e compare com
— muitas disjunções com desigualdades se reduzem por inclusão de intervalos.