Negue a seguinte proposição:
(3 é par ou 1 é ímpar) e ( 2 não é ímpar ou 1 não é par).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a proposição composta: (3\\ \text{é par}\\ \lor\\\ 1\\ \text{é ímpar})\\ \land\\ (2\\ \text{não é ímpar}\\ \lor\\\ 1\\ \text{não é par})ééíãéíãé.
  • O pedido é: negar essa proposição (escrever formalmente a negação equivalente).

Passo 2

Vamos nomear as proposições atômicas para ficar mais limpo:
  • Defina A como 3\\ \text{é par}é.
  • Defina B como 1\\ \text{é ímpar}éí.
  • Defina C como 2\\ \text{é ímpar}éí.
  • Defina D como 1\\ \text{é par}é.
Note que as partes com “não” do enunciado correspondem a negações dessas atômicas:
  • 2\\ \text{não é ímpar}ãéí é \lnot C.
  • 1\\ \text{não é par}ãé é \lnot D.

Passo 3

Escrevendo a proposição original com essas letras fica:
(A \lor B)\land(\lnot C \lor \lnot D).
Queremos construir a negação
\lnot\bigl((A \lor B)\land(\lnot C \lor \lnot D)\bigr).

Passo 4

Lembrete (fórmulas úteis para negar):
  • Lei de De Morgan para conjunção:
\lnot(P\land Q)\equiv \lnot P\lor \lnot Q.
  • Lei de De Morgan para disjunção:
\lnot(P\lor Q)\equiv \lnot P\land \lnot Q.
  • Dupla negação:
\lnot(\lnot P)\equiv P.
Estas regras dizem como transformar negações de expressões compostas em expressões equivalentes sem a negação externa — é exatamente o que precisamos.

Passo 5

Aplique De Morgan na negação da conjunção inteira:
\lnot\bigl((A \lor B)\land(\lnot C \lor \lnot D)\bigr)\equiv \lnot(A\lor B)\\ \lor\\ \lnot(\lnot C\lor\lnot D).

Passo 6

Agora aplique De Morgan nas duas negações internas:
\lnot(A\lor B)\equiv \lnot A\land\lnot B, \qquad \lnot(\lnot C\lor\lnot D)\equiv \lnot(\lnot C)\land\lnot(\lnot D).
Usando dupla negação em cada termo da segunda conjunção obtemos:
\lnot(\lnot C)\land\lnot(\lnot D)\equiv C\land D.
Portanto a negação fica
(\lnot A\land\lnot B)\\ \lor\\ (C\land D).

Passo 7

Substituindo A,B,C,D pelas frases originais e simplificando as negações em linguagem natural:
  • \lnot A é 3\\ \text{não é par}ãé.
  • \lnot B é 1\\ \text{não é ímpar}ãéí, que equivale a 1\\ \text{é par}é.
  • C é 2\\ \text{é ímpar}éí.
  • D é 1\\ \text{é par}é.
Assim a negação escrita de forma natural e simplificada é
(3\\ \text{não é par}\land 1\\ \text{é par})\\ \lor\\ (2\\ \text{é ímpar}\land 1\\ \text{é par}),ãéééíé
que pode ser ainda fatorada como
1\\ \text{é par}\\ \land\\ (3\\ \text{não é par}\\ \lor\\\ 2\\ \text{é ímpar}).éãééí

Resposta

1\\ \text{é par}\land\bigl(3\\ \text{não é par}\lor 2\\ \text{é ímpar}\bigr)éãééí

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