Considere o conjunto universo \mathbb{U}=\mathbb{Z}^{*} e seus subconjuntos M= \{x \in \mathbb{U}:|x-2|<10\}, N=\left\{x \in \mathbb{U}: x^{2}<16\right\} e P=\{x \in \mathbb{U}: \left.\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-5\right)=0\right\}. Determine: \left(M^{C} \cup P\right) \cap(M \cap N).
Resposta: M^{C} \cup P=\{x \leq-8 ou x \geq 12 ou x=-1,1\}, M \cap N= \{-3,-2,-1,0,1,2,3\} e \left(M^{C} \cup P\right) \cap(M \cap N)=\{-1,1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o conjunto
\left(M^{C} \cup P\right) \cap (M \cap N).
As informações dadas (todas retiradas do enunciado) são:
  • Universo: \mathbb{U}=\mathbb{Z}^{*}.
  • M=\{x\in\mathbb{U} : |x-2|<10\}.
  • N=\{x\in\mathbb{U} : x^{2}<16\}.
  • P=\{x\in\mathbb{U} : (x^{2}-1)(x^{2}-3)(x^{2}-5)=0\}.
Vou listar explicitamente cada conjunto mencionado (isso começa a ser feito a partir do Passo 2).

Passo 2

Determinar M resolvendo a desigualdade com valor absoluto. Lembrete sobre valor absoluto:
  • Para qualquer real y, |y|<a com a>0 é equivalente a -a<y<a.
Aplicando isso em |x-2|<10:
-10 < x-2 < 10.
Somando 2 em todas as partes:
-8 < x < 12.
Como \mathbb{U} é um conjunto de inteiros (o enunciado usa \mathbb{Z}^{*}), os x permitidos em M são os inteiros estritamente entre -8 e 12. Portanto
M=\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}.
(ou, em notação de intervalo em inteiros, M=\{x\in\mathbb{Z}: -7\le x\le 11\}.)

Passo 3

Determinar o complemento M^{C} relativo ao universo \mathbb{U}. O complemento contém exatamente os inteiros que não estão em M. Como M são os inteiros -7 até 11, o complemento é
M^{C}=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -8\\ \text{ou}\\ x\ge 12\}.
Observação importante: os valores -8 e 12 não pertencem a M porque a desigualdade era estrita |x-2|<10; por isso eles aparecem no complemento.

Passo 4

Determinar N resolvendo x^{2}<16. Para números reais, x^{2}<16 equivale a -4<x<4. Como estamos em inteiros, os inteiros que satisfazem isso são
N=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.
Expliquei: x=\pm 4 dão x^{2}=16 (não estritamente menor), então não entram; os inteiros entre -4 e 4 são exatamente esses sete.

Passo 5

Determinar P usando a propriedade do produto nulo. A equação
(x^{2}-1)(x^{2}-3)(x^{2}-5)=0
significa que pelo menos um dos fatores é zero, isto é x^{2}=1 ou x^{2}=3 ou x^{2}=5.
Agora, procurar soluções inteiras:
  • x^{2}=1 tem soluções x=\pm 1.
  • x^{2}=3 e x^{2}=5 não têm soluções inteiras porque 3 e 5 não são quadrados perfeitos.
Portanto
P=\{-1,1\}.

Passo 6

Calcular M\cap N intersectando os conjuntos encontrados em Passo 2 e Passo 4. Lembrando: a interseção contém os elementos comuns a ambos.
Temos
M=\{-7,\dots,11\},\qquad N=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.
Os elementos em comum são os inteiros de -3 a 3. Logo
M\cap N=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.

Passo 7

Calcular M^{C}\cup P tomando a união do complemento encontrado no Passo 3 com P do Passo 5. A união contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
Escrevendo:
M^{C}=\{x\le -8\\ \text{ou}\\ x\ge 12\},\qquad P=\{-1,1\}.
Portanto
M^{C}\cup P=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -8\\ \text{ou}\\ x\ge 12\}\\ \cup\\ \{-1,1\}.
Em palavras: todos os inteiros menores ou iguais a -8, todos os inteiros maiores ou iguais a 12, e ainda os pontos isolados -1 e 1.

Passo 8

Finalmente calcular
\left(M^{C}\cup P\right)\cap(M\cap N).
Interseção significa “aquilo que está em ambos os conjuntos”. Já temos:
M\cap N=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},
e
M^{C}\cup P=\{\dots, -9,-8\}\cup\{-1,1\}\cup\{12,13,\dots\}.
Dos elementos de M\cap N (que vão de -3 a 3), os únicos que aparecem em M^{C}\cup P são -1 e 1 (porque o resto de M\cap N está dentro de M, não no complemento, e somente -1,1 foram adicionados por P). Assim a interseção é
\{-1,1\}.

Resposta

\{-1,1\}

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