Considere o conjunto universo
e seus subconjuntos
e
. Determine:
.
Resposta:
ou
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o conjunto
As informações dadas (todas retiradas do enunciado) são:
- Universo:
. -
-
-
Vou listar explicitamente cada conjunto mencionado (isso começa a ser feito a partir do Passo 2).
Passo 2
Determinar
resolvendo a desigualdade com valor absoluto. Lembrete sobre valor absoluto:
- Para qualquer real
, com é equivalente a .
Aplicando isso em
:
Somando
em todas as partes:
Como
é um conjunto de inteiros (o enunciado usa
), os
permitidos em
são os inteiros estritamente entre
e
. Portanto
(ou, em notação de intervalo em inteiros,
.)
Passo 3
Determinar o complemento
relativo ao universo
. O complemento contém exatamente os inteiros que não estão em
. Como
são os inteiros
até
, o complemento é
Observação importante: os valores
e
não pertencem a
porque a desigualdade era estrita
; por isso eles aparecem no complemento.
Passo 4
Determinar
resolvendo
. Para números reais,
equivale a
. Como estamos em inteiros, os inteiros que satisfazem isso são
Expliquei:
dão
(não estritamente menor), então não entram; os inteiros entre
e
são exatamente esses sete.
Passo 5
Determinar
usando a propriedade do produto nulo. A equação
significa que pelo menos um dos fatores é zero, isto é
ou
ou
.
Agora, procurar soluções inteiras:
-
tem soluções . -
e não têm soluções inteiras porque e não são quadrados perfeitos.
Portanto
Passo 6
Calcular
intersectando os conjuntos encontrados em Passo 2 e Passo 4. Lembrando: a interseção contém os elementos comuns a ambos.
Temos
Os elementos em comum são os inteiros de
a
. Logo
Passo 7
Calcular
tomando a união do complemento encontrado no Passo 3 com
do Passo 5. A união contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
Escrevendo:
Portanto
Em palavras: todos os inteiros menores ou iguais a
, todos os inteiros maiores ou iguais a
, e ainda os pontos isolados
e
.
Passo 8
Finalmente calcular
Interseção significa “aquilo que está em ambos os conjuntos”. Já temos:
e
Dos elementos de
(que vão de
a
), os únicos que aparecem em
são
e
(porque o resto de
está dentro de
, não no complemento, e somente
foram adicionados por
). Assim a interseção é