Sejam z, w in C. Prove que
|z+w|^2+|z-w|^2=2(|z|^2+|w|^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
|z+w|^2+|z-w|^2=2l(|z|^2+|w|^2r)
para quaisquer z,winC.
O conteúdo é álgebra de números complexos e a definição de módulo, que diz
|u|^2=u,u
para qualquer uinC.

Passo 2

Aplicamos a definição de módulo ao par z+w e z-w. Primeiro,
|z+w|^2=(z+w),(z+w) =(z+w)(overline z+overline w) =zoverline z+zoverline w+woverline z+woverline w
Em seguida,
|z-w|^2=(z-w),(z-w) =(z-w)(overline z-overline w) =zoverline z - zoverline w - woverline z + woverline w

Passo 3

Somando as duas expressões, os termos cruzados cancelam:
|z+w|^2+|z-w|^2 =(zoverline z+zoverline w+woverline z+woverline w) +(zoverline z - zoverline w - woverline z + woverline w) =2,zoverline z + 2,woverline w
Como zoverline z=|z|^2 e woverline w=|w|^2, fica
|z+w|^2+|z-w|^2=2l(|z|^2+|w|^2r)

Resposta

A identidade está provada.

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