Verifique o posto e a nulidade das seguintes matrizes
A=M^prime M, onde M in R^m times n possui posto completo por colunas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o posto e a nulidade da matriz
A = M^TM,
onde MinR^mtimes n tem posto completo por colunas.
Conteúdo: propriedade de posto de matrizes, núcleo e invertibilidade de M^TM.

Passo 2

Mostramos que A é invertível, ou seja, tem posto máximo n. Sejam xinR^n tais que
A x = 0
Então
x^TAx = x^TM^TMx = (Mx)^T(Mx)=lVert MxrVert^2
Como A x=0 implica lVert MxrVert^2=0, segue Mx=0. Mas M tem posto completo por colunas ( rank(M)=n), logo ker M=0. Portanto x=0 é a única solução de Ax=0, isto é, ker A=0.

Passo 3

Da trivialidade do núcleo de A concluímos que nullity(A)=dimker A=0 e, pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
rank(A)+nullity(A)=n,
logo rank(A)=n.

Resposta

posto (A)=n
nulidade (A)=0

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