Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} quatro números reais nãonulos, formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema \left\{\begin{array}{c}a_{1} x+a_{3} y=1 \\\ a_{1} a_{2} x+a_{1} a_{4} y=a_{2}\end{array}\right. é:
a) possível determinado;
b) possível determinado apenas para a_{1}>1;
c) impossível;
d) possível determinado apenas para a_{1}<-1;
e) possível indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma classificação do sistema linear entre as alternativas:
São dados quatro números reais não nulos \,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\,\) que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica.
- O sistema a analisar é
\[\begin{cases} a_{1}x+a_{3}y=1,\\[4pt] a_{1}a_{2}x+a_{1}a_{4}y=a_{2}. \end{cases}
O que se pede: identificar se o sistema é (a) possível determinado, (b) possível determinado apenas para \,a_{1}>1\], \text{(c)} impossível, (d) possível determinado apenas para \(\,a_{1}<-1 ou (e) possível indeterminado.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Como \,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\, estão em progressão geométrica e são todos não nulos, existe um razão \,r\neq 0\, tal que
Primeiro, substituir as expressões da progressão geométrica na forma do sistema para simplificar. Usando \,a_{2}=a_{1}r,\;a_{3}=a_{1}r^{2},\;a_{4}=a_{1}r^{3} temos as duas equações:
Agora dividindo essa expressão por \,a_{1} chegamos de novo a
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}}. \tag{2}
Observação: as equações (1) e (2) são idênticas.
Passo 4
Vou usar uma ideia de teoria de sistemas 2\times2\) para entender a natureza do sistema sem calcular soluções diretamente: para um sistema
\[\begin{cases} \alpha x+\beta y = e,\\[4pt] \gamma x+\delta y = f, \end{cases}
o determinante da matriz dos coeficientes é \,D=\alpha\delta-\beta\gamma\].
- Se \(\,D\neq 0 então o sistema tem única solução (possível determinado).
- Se \,D=0 então ou o sistema é impossível (se as equações forem incompatíveis) ou é possível indeterminado (infinitas soluções), dependendo da consistência.
Vamos calcular o determinante do nosso sistema original (antes de simplificar): a matriz de coeficientes é
Logo \,D= a_{1}\cdot 0 = 0. Portanto o determinante é zero, não há solução única — o sistema ou é impossível ou tem infinitas soluções.]
Passo 5
Agora verificar consistência (se há soluções). Uma forma prática é calcular os determinantes \,D_x e \,D_y da regra de Cramer (substituindo a coluna de coeficientes pela coluna de termos constantes). O vetor dos termos constantes é \,(1,a_{2})^{T}.
Quando D=0 e D_{x}=D_{y}=0 o sistema é compatível e indeterminado: há infinitas soluções. Isso também é claro pela observação direta das etapas anteriores, porque as duas equações reduziram-se à mesma equação
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}},
que é a equação de uma reta no plano (x,y) e, portanto, possui infinitas soluções (todos os pares (x,y) que satisfazem essa relação).]
Passo 6
Dar a forma explícita da família de soluções (útil para a prova): parametrize por t\in\mathbb{R}. Tomando y=t obtemos