1. Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} quatro números reais nãonulos, formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema \left\{\begin{array}{c}a_{1} x+a_{3} y=1 \\\ a_{1} a_{2} x+a_{1} a_{4} y=a_{2}\end{array}\right. é:
    a) possível determinado;
    b) possível determinado apenas para a_{1}>1;
    c) impossível;
    d) possível determinado apenas para a_{1}<-1;
    e) possível indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma classificação do sistema linear entre as alternativas:
  • São dados quatro números reais não nulos \,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\,\) que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica. - O sistema a analisar é \[\begin{cases} a_{1}x+a_{3}y=1,\\[4pt] a_{1}a_{2}x+a_{1}a_{4}y=a_{2}. \end{cases}
  • O que se pede: identificar se o sistema é (a) possível determinado, (b) possível determinado apenas para \,a_{1}>1\], \text{(c)} impossível, (d) possível determinado apenas para \(\,a_{1}<-1 ou (e) possível indeterminado.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Como \,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\, estão em progressão geométrica e são todos não nulos, existe um razão \,r\neq 0\, tal que
a_{2}=a_{1}r,\qquad a_{3}=a_{1}r^{2},\qquad a_{4}=a_{1}r^{3}.
  • As incógnitas do sistema são x e y.]

Passo 2

Primeiro, substituir as expressões da progressão geométrica na forma do sistema para simplificar. Usando \,a_{2}=a_{1}r,\;a_{3}=a_{1}r^{2},\;a_{4}=a_{1}r^{3} temos as duas equações:
a_{1}x + a_{1}r^{2}y = 1,
a_{1}\cdot(a_{1}r)\,x + a_{1}\cdot(a_{1}r^{3})\,y = a_{1}r.

Passo 3

Simplificar cada equação dividindo por fatores não nulos (lembre que \,a_{1}\neq 0 e \,r\neq 0 por hipótese):
  • Dividindo a primeira equação por \,a_{1} obtemos
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}}. \tag{1}
  • Na segunda equação, fatorando e dividindo por \,a_{1}r (válido porque ambos são não nulos), obtemos
\frac{a_{1}^{2}r\,x + a_{1}^{2}r^{3}\,y}{a_{1}r} = \frac{a_{1}r}{a_{1}r} \quad\Longrightarrow\quad a_{1}x + a_{1}r^{2}y = 1.
Agora dividindo essa expressão por \,a_{1} chegamos de novo a
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}}. \tag{2}
Observação: as equações (1) e (2) são idênticas.

Passo 4

Vou usar uma ideia de teoria de sistemas 2\times2\) para entender a natureza do sistema sem calcular soluções diretamente: para um sistema \[\begin{cases} \alpha x+\beta y = e,\\[4pt] \gamma x+\delta y = f, \end{cases}
o determinante da matriz dos coeficientes é \,D=\alpha\delta-\beta\gamma\]. - Se \(\,D\neq 0 então o sistema tem única solução (possível determinado).
- Se \,D=0 então ou o sistema é impossível (se as equações forem incompatíveis) ou é possível indeterminado (infinitas soluções), dependendo da consistência.
Vamos calcular o determinante do nosso sistema original (antes de simplificar): a matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix} a_{1} & a_{3}\\[4pt] a_{1}a_{2} & a_{1}a_{4} \end{pmatrix},
então
D = a_{1}\cdot(a_{1}a_{4}) - a_{3}\cdot(a_{1}a_{2}) = a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{3}a_{2} = a_{1}\bigl(a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}\bigr).
Usando as relações da progressão geométrica:
a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3} = a_{1}\cdot(a_{1}r^{3}) - (a_{1}r)\cdot(a_{1}r^{2}) = a_{1}^{2}r^{3}-a_{1}^{2}r^{3}=0.
Logo \,D= a_{1}\cdot 0 = 0. Portanto o determinante é zero, não há solução única — o sistema ou é impossível ou tem infinitas soluções.]

Passo 5

Agora verificar consistência (se há soluções). Uma forma prática é calcular os determinantes \,D_x e \,D_y da regra de Cramer (substituindo a coluna de coeficientes pela coluna de termos constantes). O vetor dos termos constantes é \,(1,a_{2})^{T}.
  • Calcula-se
D_{x} = \begin{vmatrix} 1 & a_{3} \\[4pt] a_{2} & a_{1}a_{4} \end{vmatrix} = 1\cdot(a_{1}a_{4}) - a_{3}\cdot a_{2} = a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}.
Mas já vimos que \,a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}=0. Então \,D_{x}=0.
  • E
D_{y} = \begin{vmatrix} a_{1} & 1 \\[4pt] a_{1}a_{2} & a_{2} \end{vmatrix} = a_{1}\cdot a_{2} - 1\cdot(a_{1}a_{2}) = 0.
Portanto \,D_{x}=D_{y}=0.
Quando D=0 e D_{x}=D_{y}=0 o sistema é compatível e indeterminado: há infinitas soluções. Isso também é claro pela observação direta das etapas anteriores, porque as duas equações reduziram-se à mesma equação
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}},
que é a equação de uma reta no plano (x,y) e, portanto, possui infinitas soluções (todos os pares (x,y) que satisfazem essa relação).]

Passo 6

Dar a forma explícita da família de soluções (útil para a prova): parametrize por t\in\mathbb{R}. Tomando y=t obtemos
x = \frac{1}{a_{1}} - r^{2}t.
Assim, a solução geral é
\bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\frac{1}{a_{1}}-r^{2}t,\;t\Bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
por exemplo t=0 dá a solução particular \,(x,y)=\bigl(\tfrac{1}{a_{1}},0\bigr).

Resposta

e) possível indeterminado

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