- Seja
uma matriz de ordem 4 tal que
e
. Então:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma matriz quadrada de ordem . -
. - A matriz
satisfaz a equação .
O que o enunciado pede: dentre as alternativas (a) a (e), indicar qual é o valor de.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a equação matricial dada. Observe que é possível fatorar
em termos de
:
onde
é a matriz identidade de ordem
. Essa fatoração é válida porque a multiplicação de matrizes é associativa e distribui sobre adição exatamente como em álgebra comum.
Passo 3
Agora use a informação
. Isso significa que
é invertível. Se
é invertível então
também é invertível, porque
tem inversa
.
Logo, é uma matriz invertível.
Logo,
Passo 4
Temos o produto de matrizes
Se uma matriz
é invertível e
, então necessariamente
(basta multiplicar à esquerda por
). Aplicando isso com
e
, obtemos
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o determinante de
. Usamos a propriedade de determinante que, para qualquer escalar
e matriz identidade
, vale
Aplicando com
e
:
(Alternativamente, também vale a propriedade
para
de ordem
; aqui
tem determinante
.)
Passo 6
Resumo lógico do raciocínio (curtinho para te confortar): a equação fatorou em
; como
é invertível,
é invertível, então
, logo
e daí
. Você chegou aqui — mandou bem por persistir!
Resposta
d)