1. Seja Q uma matriz de ordem 4 tal que \operatorname{det}(Q) \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=\mathbf{0}_{4}. Então:
    a) \operatorname{det}(Q)=2;
    b) \operatorname{det}(Q)=-2;
    c) \operatorname{det}(Q)=-16;
    d) \operatorname{det}(Q)=16;
    e) \operatorname{det}(Q)=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Q é uma matriz quadrada de ordem 4.
  • \operatorname{det}(Q)\neq 0.
  • A matriz Q satisfaz a equação \;Q^{3}+2Q^{2}=\mathbf{0}_{4}.
    O que o enunciado pede: dentre as alternativas (a) a (e), indicar qual é o valor de \operatorname{det}(Q).

Passo 2

Primeiro vamos manipular a equação matricial dada. Observe que é possível fatorar Q^{3}+2Q^{2} em termos de Q^{2}:
Q^{3}+2Q^{2}=Q^{2}(Q+2I_{4})=\mathbf{0}_{4},
onde I_{4} é a matriz identidade de ordem 4. Essa fatoração é válida porque a multiplicação de matrizes é associativa e distribui sobre adição exatamente como em álgebra comum.

Passo 3

Agora use a informação \operatorname{det}(Q)\neq 0. Isso significa que Q é invertível. Se Q é invertível então Q^{2} também é invertível, porque Q^{2} tem inversa (Q^{-1})^{2}.
Logo, Q^{2} é uma matriz invertível.

Passo 4

Temos o produto de matrizes
Q^{2}(Q+2I_{4})=\mathbf{0}_{4}.
Se uma matriz A é invertível e A B=\mathbf{0}, então necessariamente B=\mathbf{0} (basta multiplicar à esquerda por A^{-1}). Aplicando isso com A=Q^{2} e B=Q+2I_{4}, obtemos
Q+2I_{4}=\mathbf{0}_{4}.
Portanto
Q=-2I_{4}.

Passo 5

Agora calculamos o determinante de Q. Usamos a propriedade de determinante que, para qualquer escalar c e matriz identidade I_{n}, vale
\operatorname{det}(cI_{n})=c^{n}.
Aplicando com c=-2 e n=4:
\operatorname{det}(Q)=\operatorname{det}(-2I_{4})=(-2)^{4}=16.
(Alternativamente, também vale a propriedade \operatorname{det}(cA)=c^{n}\operatorname{det}(A) para A de ordem n; aqui A=I_{4} tem determinante 1.)

Passo 6

Resumo lógico do raciocínio (curtinho para te confortar): a equação fatorou em Q^{2}(Q+2I_{4})=\mathbf{0}; como Q é invertível, Q^{2} é invertível, então Q+2I_{4}=\mathbf{0}, logo Q=-2I_{4} e daí \operatorname{det}(Q)=(-2)^{4}=16. Você chegou aqui — mandou bem por persistir!

Resposta

d) \operatorname{det}(Q)=16

Exercícios relacionados