Um cano com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0,90 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 174 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 \mathrm{~cm} e sobe para o segundo piso, que está a 5,8 \mathrm{~m} acima do ponto de entrada, qual será a pressão da água no segundo piso, em unidades de KPa? Observação: Adote g =9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever cada número em unidades SI para ficar claro):
  • Diâmetro interno no porão: \,d_1=2{,}5\\ \text{cm} = 0{,}025\\ \text{m}.
  • Velocidade no porão: \,v_1=0{,}90\\ \text{m/s}.
  • Pressão no porão: \,p_1=174\\ \text{kPa}.
  • Diâmetro no segundo piso: \,d_2=1{,}2\\ \text{cm} = 0{,}012\\ \text{m}.
  • Diferença de altura do segundo piso em relação ao porão: \,\Delta z = z_2-z_1 = 5{,}8\\ \text{m} (ou seja, o segundo piso está 5{,}8\\ \text{m} acima).
  • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
    O que o problema pede: a pressão da água no segundo piso, \,p_2, em unidades de kPa.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde \,A é a área da seção transversal e \,v a velocidade local. A área de um cano circular é
A=\frac{\pi d^2}{4},
onde \,d é o diâmetro.
Explicando as variáveis:
  • \,A_1 e \,A_2: áreas das seções do cano no porão e no segundo piso.
  • \,v_1 e \,v_2: velocidades correspondentes.
Como \,A é proporcional a d^2, podemos obter \,v_2 diretamente por
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2.
Substituindo os diâmetros em metros:
\frac{d_1}{d_2}=\frac{0{,}025}{0{,}012}=\frac{25}{12},
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v_2 = 0{,}90\cdot\left(\frac{25}{12}\right)^2 =0{,}90\cdot\frac{625}{144} =\frac{562{,}5}{144}=3{,}90625\\ \text{m/s}.
Portanto a velocidade no segundo piso é \,v_2=3{,}90625\\ \text{m/s}.

Passo 3

Agora usamos a equação de Bernoulli (para escoamento estacionário, incompressível e desprezando perdas por atrito) entre o ponto 1 (porão) e o ponto 2 (segundo piso):
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2,
onde
  • \,p é a pressão absoluta,
  • \,\rho é a densidade do fluido ( \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 para água),
  • \,v velocidade,
  • \,g aceleração da gravidade,
  • \,z cota vertical (altura).
Isolando \,p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g (z_1 - z_2).
Como z_2-z_1=5{,}8\\ \text{m}, temos z_1-z_2=-5{,}8\\ \text{m}.
Vamos calcular termo a termo. Primeiro converter \,p_1 para pascal:
p_1 = 174\\ \text{kPa} = 174000\\ \text{Pa}.
Calcular os quadrados das velocidades:
v_1^2 = (0{,}90)^2 = 0{,}81,
v_2^2 = (3{,}90625)^2 = \frac{15625}{1024} = 15{,}2734375.
Termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = \tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot(0{,}81-15{,}2734375) =500\cdot(-14{,}4634375) =-7231{,}71875\\ \text{Pa}.
Termo de elevação:
\rho g (z_1-z_2)=1000\cdot9{,}8\cdot(-5{,}8)=-56840\\ \text{Pa}.
Somando tudo:
p_2 = 174000 -7231{,}71875 -56840 = 109928{,}28125\\ \text{Pa}.
Converter para kPa dividindo por 1000:
p_2 = 109{,}92828125\\ \text{kPa}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) fica \,109{,}93\\ \text{kPa}.
Interpretação rápida (sem necessidade para a resposta): a pressão caiu porque parte da energia de pressão foi convertida em energia cinética (velocidade maior no trecho estreito) e porque houve ganho de altura (energia potencial gravitacional).

Resposta

\,109{,}93\\ \text{kPa}

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