Um cano com diâmetro interno de
transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de
com uma pressão de 174 kPa . Se o cano se estreita para
e sobe para o segundo piso, que está a
acima do ponto de entrada, qual será a pressão da água no segundo piso, em unidades de KPa? Observação: Adote g
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever cada número em unidades SI para ficar claro):
- Diâmetro interno no porão:
. - Velocidade no porão:
. - Pressão no porão:
. - Diâmetro no segundo piso:
. - Diferença de altura do segundo piso em relação ao porão:
(ou seja, o segundo piso está acima). - Aceleração da gravidade:
.
O que o problema pede: a pressão da água no segundo piso,, em unidades de kPa.
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo:
onde
é a área da seção transversal e
a velocidade local. A área de um cano circular é
onde
é o diâmetro.
Explicando as variáveis:
-
e : áreas das seções do cano no porão e no segundo piso. -
e : velocidades correspondentes.
Como
é proporcional a
, podemos obter
diretamente por
Substituindo os diâmetros em metros:
logo
Portanto a velocidade no segundo piso é
.
Passo 3
Agora usamos a equação de Bernoulli (para escoamento estacionário, incompressível e desprezando perdas por atrito) entre o ponto 1 (porão) e o ponto 2 (segundo piso):
onde
-
é a pressão absoluta, -
é a densidade do fluido ( para água), -
velocidade, -
aceleração da gravidade, -
cota vertical (altura).
Isolando
:
Como
, temos
.
Vamos calcular termo a termo. Primeiro converter
para pascal:
Calcular os quadrados das velocidades:
Termo dinâmico:
Termo de elevação:
Somando tudo:
Converter para kPa dividindo por
:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) fica
.
Interpretação rápida (sem necessidade para a resposta): a pressão caiu porque parte da energia de pressão foi convertida em energia cinética (velocidade maior no trecho estreito) e porque houve ganho de altura (energia potencial gravitacional).