Um casal planeja ter 3 filhos. Determine a probabilidade de nascerem:
a) três homens;
b) dois homens e uma mulher.
a) três homens;
b) dois homens e uma mulher.
Passo 1
O enunciado: um casal terá
filhos. Pede-se:
a) a probabilidade de nascerem três homens;
b) a probabilidade de nascerem dois homens e uma mulher.
a) a probabilidade de nascerem três homens;
b) a probabilidade de nascerem dois homens e uma mulher.
Informações dadas explicitamente no enunciado:
nascimentos (cada nascimento gera um filho).
Não há outras informações numéricas no enunciado (por exemplo, probabilidade diferente de nascer homem/mulher), nem restrições adicionais.
Não há outras informações numéricas no enunciado (por exemplo, probabilidade diferente de nascer homem/mulher), nem restrições adicionais.
Passo 2
Assunções razoáveis que usaremos (o enunciado não as declarou, então explicito-as):
- Cada nascimento é um evento independente dos outros (o sexo de um filho não altera o sexo dos outros). Vou chamar a esse princípio de independência.
- A probabilidade de nascer um homem é igual à de nascer uma mulher, ou seja
.\n
Essas são hipóteses padrão em questões elementares desse tipo. Se alguma dessas hipóteses fosse diferente, as contas mudariam.
Passo 3
Construindo o espaço amostral (todas as sequências possíveis de sexos para 3 filhos):
Cada filho tem duas possibilidades: homem (vou usar a letra ) ou mulher (vou usar a letra
). Para
filhos, o número total de sequências possíveis é
Cada filho tem duas possibilidades: homem (vou usar a letra
Listando explicitamente as
sequências (cada sequência corresponde a uma ordem de nascimentos):
Como assumimos que cada nascimento tem probabilidade
e são independentes, cada uma dessas
sequências tem a mesma probabilidade, dada por
Passo 4
Resolvendo (a) — probabilidade de três homens:
O evento “três homens” corresponde exatamente à sequência . Há apenas
sequência favorável. Usando a ideia de multiplicação para eventos independentes, a probabilidade de
é
O evento “três homens” corresponde exatamente à sequência
Interpretação: para cada filho a chance de ser homem é
; multiplicamos porque queremos todos os três serem homens ao mesmo tempo (independência).
Passo 5
Resolvendo (b) — probabilidade de exatamente dois homens e uma mulher:
Método direto por contagem: das sequências listadas no Passo 3, as que têm exatamente dois e um
são
Método direto por contagem: das sequências listadas no Passo 3, as que têm exatamente dois
São
sequências favoráveis. Como cada sequência tem probabilidade
, a probabilidade pedida é
Método via combinatória (mesma ideia, só mais sistemático): o número de maneiras de escolher as posições dos
homens entre
filhos é dado pelo coeficiente combinatório
Cada arranjo tem probabilidade
, logo a probabilidade total é
Pequena explicação das notações usadas:
(fatorial) significa
. Aqui usamos
,
,
.
Passo 6
Interpretação numérica rápida (opcional para memória):
e
. Então as chances são
para três homens e
para exatamente dois homens e uma mulher, sob as suposições feitas.
Resposta
a)
b)
b)