Um casal planeja ter 3 filhos. Determine a probabilidade de nascerem:
a) três homens;
b) dois homens e uma mulher.

Passo 1

O enunciado: um casal terá \,3\, filhos. Pede-se:
a) a probabilidade de nascerem três homens;
b) a probabilidade de nascerem dois homens e uma mulher.
Informações dadas explicitamente no enunciado:
\,3\, nascimentos (cada nascimento gera um filho).
Não há outras informações numéricas no enunciado (por exemplo, probabilidade diferente de nascer homem/mulher), nem restrições adicionais.

Passo 2

Assunções razoáveis que usaremos (o enunciado não as declarou, então explicito-as):
  1. Cada nascimento é um evento independente dos outros (o sexo de um filho não altera o sexo dos outros). Vou chamar a esse princípio de independência.
  2. A probabilidade de nascer um homem é igual à de nascer uma mulher, ou seja \;P(\text{homem})=P(\text{mulher})=\tfrac{1}{2}.\n
    Essas são hipóteses padrão em questões elementares desse tipo. Se alguma dessas hipóteses fosse diferente, as contas mudariam.

Passo 3

Construindo o espaço amostral (todas as sequências possíveis de sexos para 3 filhos):
Cada filho tem duas possibilidades: homem (vou usar a letra M) ou mulher (vou usar a letra F). Para \,3\, filhos, o número total de sequências possíveis é
2^3 = 8.
Listando explicitamente as 8 sequências (cada sequência corresponde a uma ordem de nascimentos):
MMM,\;MMF,\;MFM,\;FMM,\;MFF,\;FMF,\;FFM,\;FFF.
Como assumimos que cada nascimento tem probabilidade \tfrac{1}{2} e são independentes, cada uma dessas 8 sequências tem a mesma probabilidade, dada por
\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}.

Passo 4

Resolvendo (a) — probabilidade de três homens:
O evento “três homens” corresponde exatamente à sequência MMM. Há apenas 1 sequência favorável. Usando a ideia de multiplicação para eventos independentes, a probabilidade de MMM é
P(MMM)=P(M)\cdot P(M)\cdot P(M)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
Interpretação: para cada filho a chance de ser homem é \tfrac{1}{2}; multiplicamos porque queremos todos os três serem homens ao mesmo tempo (independência).

Passo 5

Resolvendo (b) — probabilidade de exatamente dois homens e uma mulher:
Método direto por contagem: das sequências listadas no Passo 3, as que têm exatamente dois M e um F são
MMF,\;MFM,\;FMM.
São 3 sequências favoráveis. Como cada sequência tem probabilidade \tfrac{1}{8}, a probabilidade pedida é
3\cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.
Método via combinatória (mesma ideia, só mais sistemático): o número de maneiras de escolher as posições dos 2 homens entre 3 filhos é dado pelo coeficiente combinatório
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\cdot1}=3.
Cada arranjo tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}, logo a probabilidade total é
\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 3\cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.
Pequena explicação das notações usadas: n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui usamos 3!=6, 2!=2, 1!=1.

Passo 6

Interpretação numérica rápida (opcional para memória):
\tfrac{1}{8}=0,125=12,5\% e \tfrac{3}{8}=0,375=37,5\%. Então as chances são 12,5\% para três homens e 37,5\% para exatamente dois homens e uma mulher, sob as suposições feitas.

Resposta

a) \tfrac{1}{8}
b) \tfrac{3}{8}

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