Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin y \, dy \, dz \, dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integranda é \;x^{2}\sin y\;.
  • Os limites de integração são todos de 0 a \pi nas três integrais internas: y vai de 0 a \pi, depois z vai de 0 a \pi, depois x vai de 0 a \pi.
  • A ordem de integração é dy (mais interna), depois dz, depois dx (mais externa).
    O objetivo final é obter um número — o valor da integral tripla.

Passo 2

Primeira integração (a mais interna): integrar em relação a y.
Aqui \;x^{2}\; é considerado constante quando integrou em y, porque x é uma variável diferente de y. Então posso puxar x^{2} para fora da integral em y:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin y \, dy = x^{2}\int_{0}^{\pi}\sin y \, dy.
Agora precisamos da primitiva de \sin y. Uma antiderivada de \sin y é -\cos y, porque \frac{d}{dy}(-\cos y)=\sin y. Portanto avalio:
\int_{0}^{\pi}\sin y \, dy = \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Calculando \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, temos
\int_{0}^{\pi}\sin y \, dy = -(-1) - ( -1) = 1+1 = 2.
Logo a integral interna fica
\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin y \, dy = x^{2}\cdot 2 = 2x^{2}.

Passo 3

Substituo o resultado da integração em y nas integrais restantes. A integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} 2x^{2} \, dz \, dx.
Agora faço a integração em relação a z. Note que 2x^{2} não depende de z, então é constante em relação a z. Quando a função integranda não depende de uma das variáveis, integrar sobre essa variável é equivalente a multiplicar pela medida do intervalo dessa variável. Mais formalmente:
\int_{0}^{\pi} 2x^{2} \, dz = 2x^{2} \cdot \bigl(\pi - 0\bigr) = 2\pi x^{2}.
Portanto após integrar em z restamos com
\int_{0}^{\pi} 2\pi x^{2} \, dx.

Passo 4

Agora integro em relação a x. Factorizo a constante 2\pi:
\int_{0}^{\pi} 2\pi x^{2} \, dx = 2\pi \int_{0}^{\pi} x^{2} \, dx.
A primitiva de x^{2} é \tfrac{x^{3}}{3}, porque \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\bigr)=x^{2}. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{\pi} x^{2} \, dx = \bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{\pi^{3}}{3} - 0 = \tfrac{\pi^{3}}{3}.
Multiplicando pela constante 2\pi obtemos
2\pi \cdot \tfrac{\pi^{3}}{3} = \tfrac{2\pi^{4}}{3}.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio (para fixar): primeiro integrei em y tratando x^{2} como constante, obtendo 2x^{2}. Depois integrei em z, multiplicando por \pi porque a expressão não dependia de z. Por fim integrei em x usando a primitiva \tfrac{x^{3}}{3}. O resultado final é \tfrac{2\pi^{4}}{3}. Você pode guardar a ideia: se a função é separável (produto de função só de x por função só de y), muitas vezes a integral tripla se simplifica muito — aqui ficou bem direto.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi^{4}}{3}

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