Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral iterada
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são todos de
a nas três integrais internas: vai de a , depois vai de a , depois vai de a . - A ordem de integração é
(mais interna), depois , depois (mais externa).
O objetivo final é obter um número — o valor da integral tripla.
Passo 2
Primeira integração (a mais interna): integrar em relação a
.
Aqui é considerado constante quando integrou em
, porque
é uma variável diferente de
. Então posso puxar
para fora da integral em
:
Aqui
Agora precisamos da primitiva de
. Uma antiderivada de
é
, porque
. Portanto avalio:
Calculando
e
, temos
Logo a integral interna fica
Passo 3
Substituo o resultado da integração em
nas integrais restantes. A integral tripla reduz-se a
Agora faço a integração em relação a
. Note que
não depende de
, então é constante em relação a
. Quando a função integranda não depende de uma das variáveis, integrar sobre essa variável é equivalente a multiplicar pela medida do intervalo dessa variável. Mais formalmente:
Portanto após integrar em
restamos com
Passo 4
Agora integro em relação a
. Factorizo a constante
:
A primitiva de
é
, porque
. Avaliando nos limites:
Multiplicando pela constante
obtemos
Passo 5
Resumo rápido do raciocínio (para fixar): primeiro integrei em
tratando
como constante, obtendo
. Depois integrei em
, multiplicando por
porque a expressão não dependia de
. Por fim integrei em
usando a primitiva
. O resultado final é
. Você pode guardar a ideia: se a função é separável (produto de função só de
por função só de
), muitas vezes a integral tripla se simplifica muito — aqui ficou bem direto.