Sejam A
e
. Mostre que:
(a) Se os vetores colunas de
são linearmente dependentes, então os vetores colunas de
também são linearmente dependentes.
(b) Se os vetores linhas de A são linearmente dependentes, então os vetores linhas de
também são linearmente dependentes.
[Sugestão: aplique a parte (a) a
.]
(a) Se os vetores colunas de
(b) Se os vetores linhas de A são linearmente dependentes, então os vetores linhas de
[Sugestão: aplique a parte (a) a
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
e define
. Precisamos mostrar duas coisas:
- Se as colunas de
são linearmente dependentes, então as colunas de também são. - Se as linhas de
são linearmente dependentes, então as linhas de também são.
Usaremos a definição de dependência linear: vetoressão LD se existe um vetor de coeficientes não nulo tal que .
Passo 2
Suponha que as colunas de
são linearmente dependentes. Então existe vetor
,
, tal que
Como
, temos
Isso mostra que uma combinação linear não trivial das colunas de
dá o vetor zero. Logo, as colunas de
são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora queremos mostrar o item (b). Observe que as linhas de uma matriz
são colunas de
. Em particular, se as linhas de
são LD, então as colunas de
são LD.
Considere . Aplicando o resultado do passo 2 à matriz
e
, concluímos que, como as colunas de
são LD, então as colunas de
também são LD.
Mas colunas de são exatamente linhas de
. Portanto, as linhas de
são linearmente dependentes.
Considere
Mas colunas de
Resposta
(a) Verdadeiro, pois se
com
então
.
(b) Verdadeiro, aplicando (a) a .
(b) Verdadeiro, aplicando (a) a