Sejam A R^n times r, B in R^n times r e C=AB. Mostre que:
(a) Se os vetores colunas de B são linearmente dependentes, então os vetores colunas de C também são linearmente dependentes.
(b) Se os vetores linhas de A são linearmente dependentes, então os vetores linhas de C também são linearmente dependentes.
[Sugestão: aplique a parte (a) a C^T.]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes AinR^ntimes r e BinR^rtimes m e define C=AB. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se as colunas de B são linearmente dependentes, então as colunas de C também são.
  2. Se as linhas de A são linearmente dependentes, então as linhas de C também são.
    Usaremos a definição de dependência linear: vetores v1,dots,vk são LD se existe um vetor de coeficientes não nulo x=(x1,dots,xk)neq0 tal que sumi xi vi=0.

Passo 2

Suponha que as colunas de B são linearmente dependentes. Então existe vetor xinR^m, xneq0, tal que
Bx = 0
Como C = AB, temos
C,x = A,(B,x) = A,0 = 0
Isso mostra que uma combinação linear não trivial das colunas de C dá o vetor zero. Logo, as colunas de C são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora queremos mostrar o item (b). Observe que as linhas de uma matriz M são colunas de M^!T. Em particular, se as linhas de A são LD, então as colunas de A^!T são LD.
Considere C^!T = (AB)^!T = B^!TA^!T. Aplicando o resultado do passo 2 à matriz A^!T e B^!T, concluímos que, como as colunas de A^!T são LD, então as colunas de C^!T também são LD.
Mas colunas de C^!T são exatamente linhas de C. Portanto, as linhas de C são linearmente dependentes.

Resposta

(a) Verdadeiro, pois se Bx=0 com xneq0 então Cx=ABx=0.
(b) Verdadeiro, aplicando (a) a C^!T=B^!TA^!T.

Exercícios relacionados