Decida se o seguinte conjunto é LI ou LD e justifique.
u=(1,-3), v=(3,5)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto u,v, com
u=(1,-3), v=(3,5),
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). O conteúdo envolvido é o conceito de independência linear em R^2: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Pela definição, devemos verificar se a equação
c1,u + c2,v = (0,0)
implica necessariamente c1=c2=0. Escrevendo em componentes, temos
c1(1,-3) + c2(3,5) = (0,0) ;Longrightarrow; c1 + 3c2 = 0, -3c1 + 5c2 = 0

Passo 3

Da primeira equação vem
c1 = -3c2
Substituindo na segunda, obtém-se
-3(-3c2) + 5c2 = 9c2 + 5c2 = 14c2 = 0 ;Longrightarrow; c2 = 0,
e daí c1 = -3cdot 0 = 0.

Passo 4

Como a única solução é c1=c2=0, concluímos que não há combinação linear não trivial que anule u e v. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto u,v é linearmente independente.

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