Sejam A e R^m times r, B in R^n times r e C=AB. Mostre que:
(a) O espaço coluna de C e um subespaço do espaço coluna de A;
(b) O espaço linha de C é um subespaço do espaço linha de B;
(c) Posto(C) <= min posto(A), posto(B) .

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
AinR^mtimes r, BinR^rtimes n,
e define C=ABinR^mtimes n. Precisamos usar as definições de espaço coluna, espaço linha e posto de uma matriz para mostrar:
(a) Col(C)subseteqCol(A);
(b) Row(C)subseteqRow(B);
(c) rank(C)<=minrank(A),rank(B).

Passo 2

Para (a), note que as colunas de C são dadas por
cj = C ej = A,(B ej),
onde ej é o vetor canônico em R^n de posto j. Sejam bj = B ejinR^r. Então
cj = A,bj,
isto é, cada coluna cj de C é uma combinação linear das colunas de A. Logo
cjinCol(A)forall j Longrightarrow Col(C)subseteqCol(A)

Passo 3

Para (b), consideremos as linhas de C. Seja ai^T a i-ésima linha de A. Então a i-ésima linha de C é
ci^T = ei^T C = ei^T A,B = (ai^T),B
Como ai^T é um vetor linha em R^r, o produto (ai^T)B é combinação linear das linhas de B. Portanto
ci^TinRow(B)forall i Longrightarrow Row(C)subseteqRow(B)

Passo 4

Para (c), lembre que o posto é a dimensão do espaço coluna (ou do espaço linha). Da inclusão de (a) segue
diml(Col(C)r)<=diml(Col(A)r) Longrightarrow rank(C)<=rank(A)
De modo análogo, pela inclusão de (b) ou aplicando o mesmo argumento a C^T = B^T A^T, obtemos
rank(C)=rank(C^T)<=rank(B^T)=rank(B)
Combinando,
rank(C)<=minrank(A),rank(B)

Resposta

(a) Col(C)subseteqCol(A).
(b) Row(C)subseteqRow(B).
(c) rank(C)<=minrank(A),rank(B).

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