Sejam A e
e
. Mostre que:
(a) O espaço coluna de C e um subespaço do espaço coluna de
;
(b) O espaço linha de C é um subespaço do espaço linha de B;
(c) Posto(C)
posto(A), posto(B)
.
(a) O espaço coluna de C e um subespaço do espaço coluna de
(b) O espaço linha de C é um subespaço do espaço linha de B;
(c) Posto(C)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e define
. Precisamos usar as definições de espaço coluna, espaço linha e posto de uma matriz para mostrar:
(a) ;
(b) ;
(c) .
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Para (a), note que as colunas de
são dadas por
onde
é o vetor canônico em
de posto
. Sejam
. Então
isto é, cada coluna
de
é uma combinação linear das colunas de
. Logo
Passo 3
Para (b), consideremos as linhas de
. Seja
a
-ésima linha de
. Então a
-ésima linha de
é
Como
é um vetor linha em
, o produto
é combinação linear das linhas de
. Portanto
Passo 4
Para (c), lembre que o posto é a dimensão do espaço coluna (ou do espaço linha). Da inclusão de (a) segue
De modo análogo, pela inclusão de (b) ou aplicando o mesmo argumento a
, obtemos
Combinando,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)