Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 3 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(d) A reta r está contida no plano \Pi.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r em forma paramétrica: (x,y,z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t\in\mathbb{R}. Aqui o ponto inicial é P_0=(1,-2,4) e o vetor diretor é \mathbf{v}=(5,-3,7).
  • O plano \Pi tem equação 3x+\alpha y+\beta z=5, onde \alpha e \beta são constantes desconhecidas.
    O que se pede:
  • Determinar todos os valores de \alpha e \beta tais que a reta r esteja contida no plano \Pi.

Passo 2

Condição prática (forma direta): se a reta r está contida em \Pi, então todo ponto de r satisfaz a equação do plano. Um ponto genérico de r é
(x,y,z)=(1+5t,\;-2-3t,\;4+7t).
Substituindo na equação do plano obtemos uma identidade em t:
3(1+5t)+\alpha(-2-3t)+\beta(4+7t)=5.
Vou expandir e agrupar termos em constante e em t.

Passo 3

Expandindo a expressão do passo anterior:
3+15t -2\alpha -3\alpha t +4\beta +7\beta t =5.
Agrupando termos constantes e termos proporcional a t:
  • termo constante: 3 -2\alpha +4\beta,
  • termo em t: 15 -3\alpha +7\beta.
    Para que a igualdade valha para todo t, os coeficientes desses dois termos devem satisfazer:
\begin{cases} 3 -2\alpha +4\beta =5,\\[4pt] 15 -3\alpha +7\beta =0. \end{cases}]

Passo 4

Vou simplificar a primeira equação. Subtraindo 3 de ambos os lados:
-2\alpha +4\beta =2.
Dividindo por 2:
-\alpha +2\beta =1.
Isolando \alpha:
\alpha = 2\beta -1.

Passo 5

Agora substituo \alpha = 2\beta -1 na segunda equação 15 -3\alpha +7\beta =0:
15 -3(2\beta -1) +7\beta =0.
Calculo passo a passo:
-3(2\beta -1) = -6\beta +3,
então
15 +(-6\beta +3) +7\beta =0.
Somando constantes e coeficientes de \beta:
18 + \beta =0.
Logo
\beta = -18.

Passo 6

Com \beta = -18, volto para \alpha = 2\beta -1:
\alpha = 2(-18) -1 = -36 -1 = -37.

Passo 7

Faço uma checagem rápida para garantir que ambas as condições são satisfeitas:
  • Verificando o ponto P_0: 3(1) + \alpha(-2) + \beta(4) = 3 -2(-37) +4(-18) = 3 +74 -72 =5. OK.
  • Verificando o coeficiente de t (ou produto escalar com o vetor diretor): 15 -3\alpha +7\beta = 15 -3(-37) +7(-18) = 15 +111 -126 =0. OK.
    Geometricamente, isso significa que o vetor normal do plano \mathbf{n}=(3,\alpha,\beta)=(3,-37,-18) é ortogonal ao vetor diretor \mathbf{v}=(5,-3,7) e que o ponto P_0 pertence ao plano, portanto a reta inteira fica no plano.

Resposta

\alpha = -37
\beta = -18

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