Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(d) A reta
está contida no plano
.
(d) A reta
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
em forma paramétrica: , com . Aqui o ponto inicial é e o vetor diretor é . - O plano
tem equação , onde e são constantes desconhecidas.
O que se pede: - Determinar todos os valores de
e tais que a reta esteja contida no plano .
Passo 2
Condição prática (forma direta): se a reta
está contida em
, então todo ponto de
satisfaz a equação do plano. Um ponto genérico de
é
Substituindo na equação do plano obtemos uma identidade em
:
Vou expandir e agrupar termos em constante e em
.
Passo 3
Expandindo a expressão do passo anterior:
Agrupando termos constantes e termos proporcional a
:
- termo constante:
, - termo em
: .
Para que a igualdade valha para todo, os coeficientes desses dois termos devem satisfazer:
Passo 4
Vou simplificar a primeira equação. Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 5
Agora substituo
na segunda equação
:
Calculo passo a passo:
então
Somando constantes e coeficientes de
:
Logo
Passo 6
Com
, volto para
:
Passo 7
Faço uma checagem rápida para garantir que ambas as condições são satisfeitas:
- Verificando o ponto
: . OK. - Verificando o coeficiente de
(ou produto escalar com o vetor diretor): . OK.
Geometricamente, isso significa que o vetor normal do planoé ortogonal ao vetor diretor e que o ponto pertence ao plano, portanto a reta inteira fica no plano.