Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 3 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(c) A reta r é ortogonal ao plano \Pi.

Passo 1

O enunciado dá:
\text{reta } r:\\ (x,y,z)=(1,-2,4)+t(5,-3,7),\quad t\in\mathbb{R},
\text{plano } \Pi:\\\ 3x+\alpha y+\beta z=5,
com \alpha e \beta constantes. A pergunta do item (c) é: determinar todos os valores de \alpha e \beta para que a reta r seja ortogonal ao plano \Pi.

Passo 2

Vamos entender o que significa “reta ortogonal a um plano” — vou explicar devagar porque esse é o ponto-chave.
  • O plano \Pi tem vetor normal dado pelos coeficientes da equação do plano. Portanto o vetor normal é
\mathbf{n}=(3,\alpha,\beta).
Aqui \mathbf{n} é um vetor que aponta perpendicularmente ao plano: todo vetor contido no plano é ortogonal a \mathbf{n}.
  • A reta r tem vetor diretor (o vetor que indica sua direção)
\mathbf{v}=(5,-3,7).
Definição operacional (útil na prova): a reta é ortogonal ao plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. Em termos vetoriais isso quer dizer que existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
\mathbf{v}=\lambda \mathbf{n}.
(em outras palavras, \mathbf{v} é múltiplo escalar de \mathbf{n}). Outra forma equivalente seria exigir \mathbf{v}\times\mathbf{n}=\mathbf{0}, mas aqui vou usar a condição de proporcionalidade de componentes porque é direta.

Passo 3

Escrevendo a proporcionalidade componente a componente, existe \lambda tal que
(5,-3,7)=\lambda(3,\alpha,\beta).
Isto gera o sistema de equações
5=3\lambda,\qquad -3=\alpha\lambda,\qquad 7=\beta\lambda.
Da primeira equação obtemos \lambda:
\lambda=\frac{5}{3}.
Substituindo \lambda nas outras duas equações encontramos \alpha e \beta:
\alpha=\frac{-3}{\lambda}=\frac{-3}{5/3}=\frac{-3\cdot 3}{5}=\frac{-9}{5},
\beta=\frac{7}{\lambda}=\frac{7}{5/3}=\frac{7\cdot 3}{5}=\frac{21}{5}.
Portanto os únicos valores possíveis que fazem \mathbf{v} paralelo a \mathbf{n} são \alpha=-\tfrac{9}{5} e \beta=\tfrac{21}{5}.

Passo 4

Uma observação prática para a prova: alguns enunciados exigem que a reta realmente intersecte o plano para dizer que são “ortogonais” (isto é, que há um ponto de encontro onde se forma o ângulo reto). Para garantir isso, substituímos a parametrização da reta na equação do plano com os \alpha e \beta encontrados e vemos se existe t real que satisfaça:
Com \alpha=-\tfrac{9}{5} e \beta=\tfrac{21}{5} a equação do plano é, multiplicando por 5,
15x-9y+21z=25.
Substituindo x=1+5t,\\ y=-2-3t,\\ z=4+7t obtemos
15(1+5t)-9(-2-3t)+21(4+7t)=25.
Calculando os termos:
15+75t+18+27t+84+147t=25 \quad\Rightarrow\quad 117+249t=25.
Logo
249t=25-117=-92\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{92}{249},
que é um número real. Isso mostra que a reta realmente intersecta o plano no parâmetro t=-\tfrac{92}{249}. Assim temos interseção e a direção é paralela ao normal, então a reta é ortogonal ao plano no ponto de interseção.

Passo 5

Conclusão: existe um único par (\alpha,\beta) que torna r ortogonal a \Pi, e é o par encontrado no Passo 3. (Achei bom checar a interseção no Passo 4 para cobrir a definição que exige ponto de encontro.)

Resposta

\alpha=-\dfrac{9}{5}, \beta=\dfrac{21}{5}

Exercícios relacionados