Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(c) A reta
é ortogonal ao plano
.
(c) A reta
Passo 1
O enunciado dá:
com
e
constantes. A pergunta do item (c) é: determinar todos os valores de
e
para que a reta
seja ortogonal ao plano
.
Passo 2
Vamos entender o que significa “reta ortogonal a um plano” — vou explicar devagar porque esse é o ponto-chave.
- O plano
tem vetor normal dado pelos coeficientes da equação do plano. Portanto o vetor normal é
Aqui
é um vetor que aponta perpendicularmente ao plano: todo vetor contido no plano é ortogonal a
.
- A reta
tem vetor diretor (o vetor que indica sua direção)
Definição operacional (útil na prova): a reta é ortogonal ao plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. Em termos vetoriais isso quer dizer que existe um escalar
tal que
(em outras palavras,
é múltiplo escalar de
). Outra forma equivalente seria exigir
, mas aqui vou usar a condição de proporcionalidade de componentes porque é direta.
Passo 3
Escrevendo a proporcionalidade componente a componente, existe
tal que
Isto gera o sistema de equações
Da primeira equação obtemos
:
Substituindo
nas outras duas equações encontramos
e
:
Portanto os únicos valores possíveis que fazem
paralelo a
são
e
.
Passo 4
Uma observação prática para a prova: alguns enunciados exigem que a reta realmente intersecte o plano para dizer que são “ortogonais” (isto é, que há um ponto de encontro onde se forma o ângulo reto). Para garantir isso, substituímos a parametrização da reta na equação do plano com os
e
encontrados e vemos se existe
real que satisfaça:
Com
e
a equação do plano é, multiplicando por
,
Substituindo
obtemos
Calculando os termos:
Logo
que é um número real. Isso mostra que a reta realmente intersecta o plano no parâmetro
. Assim temos interseção e a direção é paralela ao normal, então a reta é ortogonal ao plano no ponto de interseção.
Passo 5
Conclusão: existe um único par
que torna
ortogonal a
, e é o par encontrado no Passo 3. (Achei bom checar a interseção no Passo 4 para cobrir a definição que exige ponto de encontro.)