Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 2 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(c) A reta r é ortogonal ao plano \Pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r pela forma paramétrica
(x,y,z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5),\quad t\in\mathbb{R},
e o plano \Pi com equação
2x+\alpha y+\beta z=5,
onde \alpha e \beta são constantes desconhecidas. A pergunta do item (c) é: determinar todos os valores de \alpha e \beta para que a reta r seja ortogonal ao plano \Pi.

Passo 2

Vamos entender o que significa “reta ortogonal a um plano”.
Um vetor normal ao plano é um vetor perpendicular a qualquer vetor contido no plano; na equação escalar do plano ax+by+cz=d o vetor normal é (a,b,c).
Se uma reta é ortogonal ao plano, então sua direção é perpendicular ao plano, ou seja, a direção da reta é colinear (paralela) ao vetor normal do plano. Em outras palavras, existe um escalar \lambda tal que o vetor direção da reta é \lambda vezes o vetor normal do plano.

Passo 3

Extraímos os vetores do enunciado: o vetor direção da reta é
v=(5,-3,5)
extraído do coeficiente de t na forma paramétrica, e um vetor normal do plano é
n=(2,\alpha,\beta)
que vem dos coeficientes da equação do plano. A condição de ortogonalidade é que exista \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq0, com
(5,-3,5)=\lambda(2,\alpha,\beta).

Passo 4

Igualando componente a componente obtemos o sistema
5=2\lambda,
-3=\alpha\lambda,
5=\beta\lambda.
Aqui usamos que dois vetores são iguais exatamente quando todas as componentes correspondentes são iguais.

Passo 5

Da primeira equação temos
\lambda=\frac{5}{2}.
Substituindo nas outras duas equações obtemos
\alpha=\frac{-3}{\lambda}=\frac{-3}{5/2}=-3\cdot\frac{2}{5}=-\frac{6}{5},
\beta=\frac{5}{\lambda}=\frac{5}{5/2}=5\cdot\frac{2}{5}=2.
Fizemos a divisão transformando em multiplicação pelo inverso de \lambda para ficar claro passo a passo.

Passo 6

Verificação rápida: com \lambda=5/2 e (2,\alpha,\beta)=(2,-6/5,2) temos \lambda(2,-6/5,2)=(5,-3,5), que é exatamente o vetor direção v. Logo a condição de colinearidade está satisfeita. Como a primeira componente do normal ( 2) é não nula, \lambda ficou determinado unicamente, e assim os valores de \alpha e \beta também são únicos.

Resposta

\alpha=-\dfrac{6}{5}
\beta=2

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