Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(c) A reta
é ortogonal ao plano
.
(c) A reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
pela forma paramétrica
e o plano
com equação
onde
e
são constantes desconhecidas. A pergunta do item (c) é: determinar todos os valores de
e
para que a reta
seja ortogonal ao plano
.
Passo 2
Vamos entender o que significa “reta ortogonal a um plano”.
Um vetor normal ao plano é um vetor perpendicular a qualquer vetor contido no plano; na equação escalar do plano o vetor normal é
.
Se uma reta é ortogonal ao plano, então sua direção é perpendicular ao plano, ou seja, a direção da reta é colinear (paralela) ao vetor normal do plano. Em outras palavras, existe um escalar tal que o vetor direção da reta é
vezes o vetor normal do plano.
Um vetor normal ao plano é um vetor perpendicular a qualquer vetor contido no plano; na equação escalar do plano
Se uma reta é ortogonal ao plano, então sua direção é perpendicular ao plano, ou seja, a direção da reta é colinear (paralela) ao vetor normal do plano. Em outras palavras, existe um escalar
Passo 3
Extraímos os vetores do enunciado: o vetor direção da reta é
extraído do coeficiente de
na forma paramétrica, e um vetor normal do plano é
que vem dos coeficientes da equação do plano. A condição de ortogonalidade é que exista
,
, com
Passo 4
Igualando componente a componente obtemos o sistema
Aqui usamos que dois vetores são iguais exatamente quando todas as componentes correspondentes são iguais.
Passo 5
Da primeira equação temos
Substituindo nas outras duas equações obtemos
Fizemos a divisão transformando em multiplicação pelo inverso de
para ficar claro passo a passo.
Passo 6
Verificação rápida: com
e
temos
, que é exatamente o vetor direção
. Logo a condição de colinearidade está satisfeita. Como a primeira componente do normal (
) é não nula,
ficou determinado unicamente, e assim os valores de
e
também são únicos.