Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 2 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(b) O plano П é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e o plano \Pi. Especificamente:
  • A reta r é dada por (x,y,z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t\in\mathbb{R}. (Esta informação não será necessária para este item, mas está no enunciado.)
  • O plano \Pi tem equação 2x+\alpha y+\beta z=5, onde \alpha e \beta são constantes a determinar.
    A pergunta do item (b) é: determine todos os valores de \alpha e \beta para que o plano \Pi seja horizontal. Se não for possível, justifique.

Passo 2

Vamos entender o que significa “plano horizontal”. Vou explicar devagar e com exemplo simples, como se estivéssemos estudando juntos antes da prova.
  • Uma superfície plana em \mathbb{R}^3 dada por uma equação do tipo ax+by+cz=d tem vetor normal (a,b,c). O vetor normal é o que aponta perpendicularmente ao plano — é o que “define a inclinação” do plano.
  • Um plano é horizontal quando é paralelo ao plano xy (o plano do chão, por assim dizer). O plano xy tem equação z= constante, que em forma geral é 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=c. O vetor normal de um plano horizontal aponta na direção z, ou seja, é paralelo a (0,0,1).
  • Portanto, para que um plano ax+by+cz=d seja horizontal, é necessário e suficiente que as componentes a e b do vetor normal sejam nulas: a=0 e b=0. Em palavras: não pode haver termos em x nem em y na equação, só em z.

Passo 3

Apliquei essa condição ao nosso plano \Pi. Na equação
2x+\alpha y+\beta z=5
o vetor normal é (2,\alpha,\beta). Pelo que dissemos, para \Pi ser horizontal precisaríamos ter
2=0\quad\text{e}\quad \alpha=0.
Mas claramente 2=0 é falso — o coeficiente de x está fixo em 2 pelo enunciado e não pode ser anulado por escolha de \alpha ou \beta.

Passo 4

Conclusão imediata: não existe nenhum valor de \alpha e \beta que torne \Pi horizontal, porque a presença do termo 2x (coeficiente 2\neq0) impede que o vetor normal seja vertical. Para reforçar com um exemplo concreto: um plano horizontal teria forma, por exemplo, \;z=3\; que em forma geral é 0x+0y+1z=3; não há como transformar 2x+\alpha y+\beta z=5 numa equação sem termos em x e y enquanto o 2x permanece.

Resposta

Não existe nenhum par (\alpha,\beta) tal que \Pi seja horizontal.

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