Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(b) O plano П é horizontal.
(b) O plano П é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
. Especificamente:
- A reta
é dada por , com . (Esta informação não será necessária para este item, mas está no enunciado.) - O plano
tem equação , onde e são constantes a determinar.
A pergunta do item (b) é: determine todos os valores dee para que o plano seja horizontal. Se não for possível, justifique.
Passo 2
Vamos entender o que significa “plano horizontal”. Vou explicar devagar e com exemplo simples, como se estivéssemos estudando juntos antes da prova.
- Uma superfície plana em
dada por uma equação do tipo tem vetor normal . O vetor normal é o que aponta perpendicularmente ao plano — é o que “define a inclinação” do plano. - Um plano é horizontal quando é paralelo ao plano
(o plano do chão, por assim dizer). O plano tem equação constante, que em forma geral é . O vetor normal de um plano horizontal aponta na direção , ou seja, é paralelo a . - Portanto, para que um plano
seja horizontal, é necessário e suficiente que as componentes e do vetor normal sejam nulas: e . Em palavras: não pode haver termos em nem em na equação, só em .
Passo 3
Apliquei essa condição ao nosso plano
. Na equação
o vetor normal é
. Pelo que dissemos, para
ser horizontal precisaríamos ter
Mas claramente
é falso — o coeficiente de
está fixo em
pelo enunciado e não pode ser anulado por escolha de
ou
.
Passo 4
Conclusão imediata: não existe nenhum valor de
e
que torne
horizontal, porque a presença do termo
(coeficiente
) impede que o vetor normal seja vertical. Para reforçar com um exemplo concreto: um plano horizontal teria forma, por exemplo,
que em forma geral é
; não há como transformar
numa equação sem termos em
e
enquanto o
permanece.
Resposta
Não existe nenhum par
tal que
seja horizontal.