Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são reflexivas, então
é reflexiva.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta o seguinte: “Sejam
e
relações em um conjunto
. Se
e
são reflexivas, então
é reflexiva?”
Isso é sobre a propriedade de reflexividade (isto é, para todo ,
pertence à relação) e sobre a interseção de relações (
). Vamos usar essas definições pra resolver.
Isso é sobre a propriedade de reflexividade (isto é, para todo
Passo 2
Queremos provar que
é reflexiva. Pela definição, basta mostrar que
Mas, como:
Logo, para qualquer
temos simultaneamente
e
.
Pela definição de interseção, isso implica
Pela definição de interseção, isso implica
Portanto,
,
, ou seja,
é reflexiva.
Resposta
A proposição é verdadeira. Demonstramos que, se
e
são reflexivas, então a interseção
também é reflexiva.