Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são reflexivas, então R cap S é reflexiva.

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta o seguinte: “Sejam e relações em um conjunto . Se e são reflexivas, então é reflexiva?”
Isso é sobre a propriedade de reflexividade (isto é, para todo , pertence à relação) e sobre a interseção de relações ( ). Vamos usar essas definições pra resolver.

Passo 2

Queremos provar que forall ain A: (a,a)in RcapS é reflexiva. Pela definição, basta mostrar que
é ref<=xiva, então (forall ain A:;(a,a)inR) 2 (S
Mas, como:
Logo, para qualquer (a,a)inRcapS (pois está em ambas as relações) temos simultaneamente e .
Pela definição de interseção, isso implica
áçõ
Portanto, , , ou seja, é reflexiva.

Resposta

A proposição é verdadeira. Demonstramos que, se e são reflexivas, então a interseção também é reflexiva.

Exercícios relacionados