Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são reflexivas, então R circ S é reflexiva.

Passo 1

Então o enunciado diz o seguinte: “Sejam e relações em . Se e são reflexivas, então é reflexiva.”
Matéria: teoria de relações – especificamente reflexividade e composição de relações.
O que precisamos usar:
  1. Definição de relação reflexiva.
  2. Definição de composição de relações.
  3. Montar uma prova direta que mostra que, para todo , .

Passo 2

Definição de reflexiva (explicando devagar):
Uma relação R é ref<=xiva Long<=ftrightarrow forall xin A,;(x,x)inR em forall xin A,;(x,x)inS e forall xin A,;(x,x)inR é dita reflexiva se, para todo elemento , o par pertence a .
Em notação:
é
Como e são reflexivas, sabemos:

Passo 3

Definição de composição de relações:
Se (a,b)inS e (b,c)inR e RcircS =l(a,c):exists bin A,,(a,b)inS;wed>=;(b,c)inRr são relações em , a composição é o conjunto de pares tais que existe com
Em fórmulas:

Passo 4

Agora a prova direta, passo a passo:
  1. Pegue um elemento qualquer . Queremos mostrar que .
  2. Como .
  3. Como é reflexiva, sabemos que .
  4. Para a definição de composição, basta encontrar um “pontinho” intermediário tal que
    e .
  5. A escolha natural é . Aí fica:
    e .
    Logo, por definição, .
  6. Como o foi um elemento genérico de , concluímos que todos os elementos de têm em .

Resposta

A proposição é verdadeira. Por reflexividade de e e pela definição de composição, sempre temos para todo .

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