Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R é reflexiva, então R^-1 é reflexiva.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma relação em um conjunto . Queremos saber se, sempre que for reflexiva, a relação inversa também será reflexiva.
Conteúdo da matéria: relações em teoria dos conjuntos – definição de relação reflexiva e operação de inversão de relação.
O que vamos precisar:
  1. Saber o que significa “ é reflexiva”.
  2. Saber o que é a relação inversa .
  3. Mostrar, a partir dessas definições, que herda a reflexividade de .

Passo 2

Definição de reflexividade:
Uma relação (x,x)inR é reflexiva se, para todo R^-1 ;=;(y,x)mid (x,y)inR , vale
Definição de relação inversa:
Ou seja, pra cada par que está em , trocamos a posição e colocamos em .

Passo 3

Agora, a ideia do prova:
  1. Pegamos um elemento qualquer .
  2. Como é reflexiva, sabemos que .
  3. Mas aí, pela definição de inversa, se então (trocando as coordenadas, que são iguais) está em .
  4. Como isso vale para todo , concluímos que também satisfaz a condição de reflexividade: para todo , .

Resposta

A proposição é verdadeira. A inversa de uma relação reflexiva é sempre reflexiva, pois cada par em gera o mesmo par em .

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