Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
é reflexiva, então
é reflexiva.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma relação
em um conjunto
. Queremos saber se, sempre que
for reflexiva, a relação inversa
também será reflexiva.
Conteúdo da matéria: relações em teoria dos conjuntos – definição de relação reflexiva e operação de inversão de relação.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: relações em teoria dos conjuntos – definição de relação reflexiva e operação de inversão de relação.
O que vamos precisar:
- Saber o que significa “
é reflexiva”. - Saber o que é a relação inversa
. - Mostrar, a partir dessas definições, que
herda a reflexividade de .
Passo 2
Definição de reflexividade:
Uma relação é reflexiva se, para todo
, vale
Uma relação
Definição de relação inversa:
Ou seja, pra cada par
que está em
, trocamos a posição e colocamos
em
.
Passo 3
Agora, a ideia do prova:
- Pegamos um elemento qualquer
. - Como
é reflexiva, sabemos que . - Mas aí, pela definição de inversa, se
então (trocando as coordenadas, que são iguais) está em . - Como isso vale para todo
, concluímos que também satisfaz a condição de reflexividade: para todo , .
Resposta
A proposição é verdadeira. A inversa de uma relação reflexiva é sempre reflexiva, pois cada par
em
gera o mesmo par
em
.