Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são reflexivas, então R cup S é reflexiva.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Sejam e relações em . Se e são reflexivas, então é reflexiva.”
Conteúdo: teoria de relações (reflexividade e união de relações).
O que vamos precisar:
  • Definição de relação reflexiva.
  • Definição de união de relações.

Passo 2

Definição de reflexiva:
Uma relação (x,y)in RcupS Long<=ftrightarrow (x,y)inR;ou;(x,y)inS é dita reflexiva se, para todo , tivermos .
Definição de união de relações:

Passo 3

Vamos provar que é reflexiva, assumindo que e já são.
  1. Pegue um elemento genérico .
  2. Como é reflexiva, sabemos que .
  3. Pela definição de união, se então .
  4. Isso vale para todo , logo satisfaz a definição de reflexiva.

Resposta

A proposição é verdadeira; a união de duas relações reflexivas é reflexiva.

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