Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são reflexivas, então
é reflexiva.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Sejam
e
relações em
. Se
e
são reflexivas, então
é reflexiva.”
Conteúdo: teoria de relações (reflexividade e união de relações).
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de relações (reflexividade e união de relações).
O que vamos precisar:
- Definição de relação reflexiva.
- Definição de união de relações.
Passo 2
Definição de reflexiva:
Uma relação é dita reflexiva se, para todo
, tivermos
.
Uma relação
Definição de união de relações:
Passo 3
Vamos provar que
é reflexiva, assumindo que
e
já são.
- Pegue um elemento genérico
. - Como
é reflexiva, sabemos que . - Pela definição de união, se
então . - Isso vale para todo
, logo satisfaz a definição de reflexiva.
Resposta
A proposição é verdadeira; a união de duas relações reflexivas é reflexiva.