Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
é simétrica, então
é simétrica.
Se
Passo 1
Beleza, aqui a parada é com relações em um conjunto
. A questão diz: “Se
é simétrica, então
também é simétrica.”
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular as noções de relação inversa e de relação simétrica.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular as noções de relação inversa e de relação simétrica.
O que vamos precisar:
- Definir “
é simétrica”:
- Definir “inversa de
”:
- Mostrar que, se
satisfaz (1), então satisfaz a mesma condição de simetria.
Passo 2
Vamos provar que
é simétrica.
- Pegamos um par qualquer
. - Pela definição de inversa,
significa que - Como
é simétrica, de a gente conclui - Agora, usar de novo a definição de inversa: se
, então - Juntando tudo, começamos com
e chegamos em . Isso é exatamente a definição de “ é simétrica”.
Resposta
A proposição é verdadeira. Demonstramos que, partindo de
, chega-se em
, usando apenas as definições e a simetria de
.