Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R é simétrica, então R^-1 é simétrica.

Passo 1

Beleza, aqui a parada é com relações em um conjunto . A questão diz: “Se é simétrica, então também é simétrica.”
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular as noções de relação inversa e de relação simétrica.
O que vamos precisar:
  1. Definir “ é simétrica”:
  2. Definir “inversa de ”:
  3. Mostrar que, se satisfaz (1), então satisfaz a mesma condição de simetria.

Passo 2

Vamos provar que é simétrica.
  1. Pegamos um par qualquer .
  2. Pela definição de inversa, significa que
  3. Como é simétrica, de a gente conclui
  4. Agora, usar de novo a definição de inversa: se , então
  5. Juntando tudo, começamos com e chegamos em . Isso é exatamente a definição de “ é simétrica”.

Resposta

A proposição é verdadeira. Demonstramos que, partindo de , chega-se em , usando apenas as definições e a simetria de .

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